ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Уравнения в вариационных производных для средней функции Грина и корреляционной функции. Вершинная функция из "Распространение волн в турбулентной атмосфере " Рассмотрение всех задач в предыдущих главах в основном велось при помощи той или иной модификации метода возмущений. Естественно, что получаемые таким образом результаты справедливы лишь в случае слабых флуктуаций показателя преломления. [c.449] В настоящей главе мы рассмотрим некоторые методы, выходящие за рамки теории возмущений. Задача о распространении волн в среде со случайными неоднородностями имеет много общего с квантовой теорией поля. Эта аналогия основывается на том факте, что задачи квантовой теории поля требуют для своего разрешения нахождения решений уравнений поля в среде с произвольными внешними источниками, взаимодействующими с полем, с последующим усреднением по квантовым флуктуациям источников. Эта задача во многом аналогична рассматриваемой нами. Однако задача о распространении волн в среде со случайными неоднородностями существенно проще, поскольку в квантовой теории поля перестановочные функции, аналогичные корреляционным функциям нашей задачи, всегда сингулярны, что приводит к появлению расходимостей. В задаче же о распространении волн в случайно неоднородной среде такие расходимости не появляются. [c.449] Использование математических методов, развитых в квантовой теории поля, позволяет выйти за рамки теории возмущений и получить решения, справедливые и в случае сильных флуктуаций. При изложении материала этой главы мы пс предполагаем, что читатель знаком с этими методами. [c.449] Следует также отметить, что излагаемая в этой главе теория еще далека от своего завершения и носит в значительной степени методический характер. Однако ввиду чрезвычайной перспективности указанных методов мы сочли целосообразпьш включить в книгу и эту главу. [c.449] В основном изложение ведется применительно к скалярному уравнению. Однако обобщение на случай уравнений Максвелла не представляет труда и может быть легко выполнено. [c.449] Уравнение (4) представляет собой интегральное уравнение, эквивалентное (1). Решение (4) можно получить методом последовательных итераций, многократно подставляя в правую часть (4) вместо ) (р) выражение, даваемое формулой (4). [c.450] Аналогичную формулу можно написать и для моментов шестого порядка (она содержит 15 слагаемых, каждое из которых представляет собой произведение трех корреляционных функций) и т. д. Момент порядка 2п выражается через сумму (2 — 1) слагаемых, каждое из которых является произведением п корреляционных функций, причем среди всех (2ге — 1) слагаемых встречаются все возможные сочетания величин е1(г)с), б1(Гг). Пользуясь этим правилом, произведем усреднение формулы (5). [c.451] Если функцию с (г, Го) изображать жирной линией. [c.453] Закон построе1гия высших членов ряда ясен из этого графика. В диаграммах 2п-го порядка следует соединить вершины попарно всеми возможными способами и взять сумму всех таких графиков. [c.453] Уравнения (И), (12) эквивалентны исходному уравнению (1). Подействуем на (12) оператором Мд-. [c.454] Здесь первое слагаемое — Сд, во второе входят все сильно связные диаграммы, в третье — все слабо связные диаграммы, рас-падаюпщеся на две части (каждая из которых сильно связна), в четвертое — слабо связные диаграммы, которые могут быть разделены на три части и т. д. [c.456] Можно дать также графический вывод уравнения Дайсона (в дальнейшем аналогичный вывод будет проведен для корреляционных функций). [c.456] Вернемся к уравнению (21). Пусть корреляционная функция Вг (г , Га) зависит лишь от (статистическая однородность). [c.457] Слабо связные диаграммы можно получить из сильно связных одним из следующих способов. [c.461] Это уравнение является аналогом уравнения Бете — Солпитера квантовой теории поля. [c.464] Проведенный в предыдущем параграфе анализ относится к частному случаю, когда закон распределения вероятностей для был гауссовским. Сейчас мы рассмотрим более общий случай и установим его связь с развитым выше методом. [c.465] Уравнение (7) является аналогом уравнения Швингера. В отличие от уравнений предыдущего параграфа (7) является замкнутым уравнением, содержащим лишь один неизвестный функционал. [c.466] В уравнениях (7) и (13) характеристический функционал фигурирует только в виде логарифмической производной. Это является одним из существенных преимуществ уравнений (7) и (13) перед уравнениями (5) и (И). Действительно, из определения (1) следует, что Ф 1, поскольку усредняется равная по модулю единице величина. Позтому разложение Ф в ряд по степеням V всегда должно содержать бесконечное число членов, так как полином конечной степени всегда неограничен при и оо. В то же время условие ограниченности не накладывается на 1пФ. [c.467] Вернуться к основной статье