ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Теорема Хаага и ее обобщения из "РСТ, спин и статистика и все такое " Мы уже отмечали в разделе 3-1, что в традиционной формулировке теории поля предполагается, что операторы неприводимого набора удовлетворяют каноническим перестановочным соотношениям в заданный момент времени. В этом параграфе мы последуем традиции и проследим дальнейшие следствия этой идеи. [c.227] Вскоре, однако, выяснилось, что рассуждения, ведущие к (4-70), неубедительны, поскольку существует много неэквивалентных представлений канонических перестановочных соотношений [т. е. иредставлений, которые не могут быть связаны посредством унитарного преобразования (4-70)]. Однако эти рассуждения не только неубедительны, но и неверны за исключением случая, когда ф(х,/)—свободное поле, не существует никаких операторов V, удовлетворяющих (4-70), как это будет продемонстрировано ниже с помощью аргументов, воплощающих идеи Р. Хаага. [c.227] Первый шаг состоит в том, чтобы показать, что унитарная эквивалентность двух неприводимых наборов операторов приводит к равенству вакуумных средних операторов, взятых в один и тот же момент времени. [c.228] Доказательством этой теоремы может служить слегка модифицированный вариант доказательства теоремы 3-8. Нужно рассмотреть оператор U2 ,A)- VUi ,A)V- и показать, что он с точностью до постоянной совпадает с единичным оператором в Жг. Подробности доказательства могут восстановить сами читатели. Из соотношений А-1Ъ) и (4-75) немедленно вытекает интересное следствие. [c.229] Теперь мы в состоянии доказать теорему Хаага, которая гласит, что если одно из двух полей, рассматриваемых в теореме 4-14, свободное, то второе поле также оказывается свободным. Доказательство теоремы просто следует из более общего результата Р. Йоста и Б. Шроера, поэтому мы сначала получим его. Для простоты ограничимся случаем нейтрального скалярного поля, хотя этот результат справедлив и в более общем случае. [c.229] Из (4-83) следует, что оператор[ф(ж), ф(г/)]— 11А х—у), размазанный должным образом, при действии на вакуум дает нуль и поэтому сам равен нулю, ибо в силу теоремы 4-3 никакой оператор уничтожения не может быть сконструирован из операторов поля, заданных в конечной области. [c.232] Предположим, что ф1(ж) —свободное эрмитово скалярное поле массы т О, а фг(ж) — локальное поле, ковариантное относительно неоднородной группы 8Ь 2,С). Предположим далее, что поля ф1(ж), ф1(ж), фг(а ), фг(ж) удовлетворяют условиям теоремы 4-14. Тогда Фг(а ) — свободное поле массы т. [c.233] Выводы из теоремы Хаага весьма удручающи. Она означает, что представление взаимодействия существует только, если всякое взаимодействие отсутствует. [c.233] Пользуясь той же техникой, можно доказать более общее утверждение, относящееся к любым двум полям, которые унитарно эквивалентны в заданный момент времени. Этот результат известен под названием обобщенной теоремы Хаага. [c.234] Тогда вакуумные средние, в которые входят до четырех операторов таких полей включительно, в обеих теориях совпадают. [c.234] Содержание теоремы 4-17 позволяет применять ее в обычном случае, когда базисные поля ковариантны относительно неоднородной группы 8Ь (2, С), а соответствующие им нековариантные канонически сопряженные импульсы необходимы для образования неприводимого набора операторов в заданный момент времени. [c.234] В теореме 4-17 невозможно доказать тем же методом равенство вакуумных средних в двух теориях для пяти и более операторов, поскольку четыре и более векторов нельзя перенести на гиперплоскость равных времен, если только они не входят в специальный набор, а этого слишком мало для обеспечения единственности аналитического продолжения определенных на ней функций. Однако теорема достаточно мощна если в двух теориях поля вакуумные средние произведений двух, трех или четырех операторов поля должны быть отличны друг от друга, то следует пользоваться неэквивалентными представлениями канонических перестановочных соотношений. [c.236] Мы убеждены, что в силу теорем, доказанных в этом разделе, связь между свободным и взаимодействуюнщм полями не может быть столь простой, какой ее можно было бы представить по аналогии с системами с конечным числом степеней свободы. В частности, кинематика оказывается смешанной с динамикой в том смысле, что именно динамика определяет, какое представление канонических перестановочных соотношений следует использовать. В физически интересных квантовых теориях поля еще более вероятна ситуация, в которой одновременные перестановочные соотношения вообще не имеют никакого смысла поле не может быть оператором, если его не размазать по времени так же, как и по пространству. [c.236] Отсюда непосредственно следует, что они локальны (положите ф2 = фз). Таким образом, взаимно локальные поля распадаются на кл1ассы эквивалентности ). [c.237] Главная цель этого раздела состоит в доказательстве этих результатов и аналогичных им, исходя из условия слабой локальной коммутативности. Однако прежде чем к этому перейти, хотелось бы высказать некоторые соображения относительно их смысла. [c.237] Вика по данному свободному полю исчерпывает класс эквивалентности этого свободного поля (см. [27]). Весьма вероятно, что и в случае полей, не являющихся свободными, соотношение между полями, принадлежащими к одному и тому же классу эквивалентности, будут несколько напоминать соотпошепия между полиномами Вика. Именно, они могут оказаться локальными функциями друг друга. Примером последнего могут служить поля (р(х) и ф(ж)-Ь - -(Dx-h т )гр(х). Сейчас проводится интенсивное исследование точного смысла, который может быть вложен в утверждение, что одно поле есть локальная функция другого, но эта идея еще едва принимает определенную форму. Вопрос этот тесно связан с теорией алгебр открытых множеств фон Неймана, которой мы коснулись в конце раздела 4-2. [c.238] Вернуться к основной статье