ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Свойства полиномиальной алгебры открытого набора из "РСТ, спин и статистика и все такое " Локальная коммутативность утверждает, что коммутаторы или антикоммутаторы [ф(х), г з(г/)] обращаются в нуль при всех пространственноподобных х — у. Предположение, которое кажется более слабым, состоит в том, что это требование должно выполняться в некоторой меньшей области, скажем при х — у) — а 0. Как будет видно из теоремы 4-1, такие внешне более слабые предположения фактически не являются более слабыми, поскольку требование локальной коммутативности может быть из них выведено. [c.187] Но нет зато и вопросов . [c.187] Поэтому из исчезновения (4 1) в окрестности точки х, у) следует обращение его в нуль в окрестности точки Лж а, Ау а). Тем самым из условий теореад немедленно вытекает обращение рассматриваемого коммутатора в нуль для всех х,у , для которых интервал х — у) входит в некоторое открытое множество на отрицательной вещественной оси. [c.188] Именно этот второй способ рассмотрения Рг важен в последующем. [c.189] Квантовая теория поля доставляет нам набор кандидатов для локальных измерений, наблюдаемых, которые соответствуют измерениям поля, осуществляемым в лаборатории конечных размеров и законченным в течение конечного промежутка времени. Это — операторы поля, размазанные по основным функциям с компактным носителем. В этом разделе мы займемся свойствами алгебры, связанной с такими величинами. Для простоты вновь обсуждается теория эрмитова скалярного поля. [c.192] Пусть Ч ортогонален всем векторам вида (4-10). Мы покажем, что тогда Ч ортогонален и всем векторам, образованным действием полиномов по размазанным полям на вакуум, без каких-либо условий на носители основных функций, т. е. что Ч ортогонален всем векторам вида (R ) Ч о = Do. Отсюда будет следовать, что Ч = О, так как, по предположению, гильбертово пространство Ж натянуто на векторы из Du- Метод доказательства служит другим типичным примером применения принципа аналитического продолжения. [c.193] Теорема 4-4, также принадлежащая Ри и Шлидеру, устанавливает, что алгебра 3 0) становится неприводимой, если к ней присоединить хоть один оператор. [c.196] Пусть Ей — оператор проектирования на вакуумное состояние, которое предполагается циклическим относительно поля. Тогда для каждого открытого множества О набор операторов о, 3 0)) неприводим. [c.196] Теорема 4-4 устанавливает, что для любого О добавление оператора Ео к ) приводит к неприводимому набору операторов. Следующая теорема устанавливает, что для специального выбора О, именно, для всего прост-ранства-времени, оператор Ео эффективно содержится в ( ). Тем самым алгебра ) сама оказывается неприводимой. Доказательство дано для теории нейтрального скалярного поля. Нетрудно распространить его на набор полей с произвольными законами преобразования. [c.197] В теории произвольных полей размазанные поля образуют неприводимый набор операторов. [c.197] Вспомним, что в силу нашего определения теории поля вакуум является циклическим вектором для размазанных полей. Такая гипотеза существенна для справедливости теоремы. Эта теорема дает обещанное оправдание определению теории поля с помощью требования цикличности вакуума вместо требования неприводимости размазанных полей. [c.197] Естественное развитие идей этого параграфа привело бы к введению понятия алгебры фон Неймана ЗЬ 0) открытого множества О. Эта алгебра есть -алгебра ограниченных операторов. Наиболее естественно эти операторы получаются с помощью спектрального разложения эрмитовых элементов. причем берется алгебра, порождаемая их спектральными проекциями. Мы не будем здесь вдаваться в объяснение такого построения. Заметим только, что есть веские основания для убеждения, что изучение алгебр М 0) — стоящее дело. Существуют соображения, в силу которых две теории поля, относящиеся к одному и тому же представлению группы Лоренца, приводят к одной и той же -матрице в том и только в том случае, если их алгебры 5 (0) изоморфны ). Этот факт придает интерес теоремам данного раздела. [c.199] Вернуться к основной статье