ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Воздушные колебания из "Теория звука Т.2 " В настоящей главе мы будем рассматривать жидкости как идеальные, т. е. будем принимать, что взаимодействие любых двух частиц, разделенных некоторой воображаемой поверхностью, происходит нормально к этой поверхности. В дальнейшем мы сделаем некоторые замечания относительно трения в жидкостях, но вообще акустические явления не нарушаются существенным образом отклонениями от свойств идеальной жидкости, имеющими место в воздухе и других газах. [c.11] Равенство давления во всех направлениях вокруг данной точки является необходимым следствием идеальности жидкости, независимо от того, имеет ли место покой или движение. Это можно доказать, рассматривая равновесие малого тетраэдра под действием давлений самой жидкости, внешних сил и сил инерции. В пределе, когда тетраэдр взят бесконечно малым, давления, оказываемые жидкостью на его грани, становятся преобладающими, и для равновесия необходимо, чтобы величины давлений были пропорциональны площадям граней, на которые они действуют. Давление в точке л , у, г будет обозначаться через р. [c.11] Это — те уравнения, которые Гельмгольц положил в основу своего вывода теорем о вихрях. [c.15] А fortiori, в действительном случае Q не может отличаться от нуля, и то же самое должно иметь место в отношении yi, С. [c.15] Следует отметить, что это заключение не было бы нарушено и в том случае, если бы налицо имелись силы трения, действующие на каждую частицу и пропорциональные ее скорости это можно видеть, если подставить в уравнение (2) ) вместо X, Y, Z величины X—хи, Y — y.v, Z — v.w. Иначе, однако, обстоит дело с теми силами трения, которые действительно существуют в жидкостях и которые зависят от относительных скоростей их частиц. [c.15] Согласно теореме, принадлежащей Стоксу, моменты количества движения относительно осей координат некоторого бесконечно малого сферического участка жидкости равны соответственно величинам %, П, С, умноженным на момент инерции данной массы жидкости таким образом, эти величины ( , Т1, С) можно рассматривать как компоненты угловой скорости жидкости в той точке, к которой они относятся. [c.16] С равны нулю во всем пространстве, занятом движущейся жидкостью, то любой внезапно отвердевший малый сферический участок жидкости сохранил бы единственно поступательное движение. Доказательство этого предложения в общей форме будет дано немного позднее. Теорема Лагранжа заключается, таким образом, в утверждении, что частицы жидкости, лишенные в ка-кой-либо момент времени вращения, никогда не могут его приобрести. [c.16] Криволинейный интеграл от тангенциальной компоненты скорости вдоль любого замкнутого контура, принадлежащего движущейся жидкости, остается постоянной величиной в течение всего времени движения. [c.17] Данный криволинейный интеграл называется циркуляцией скорости, предыдущее предложение может быть формулировано так циркуляция скорости по любому замкнутому контуру, движущемуся вместе с жидкостью, остается постоянной. [c.17] Если желательно работать с полярными координатами, то преобразованное уравнение легче получить непосредственным применением (1) к соответствующему элементу объема, нежели путем преобразования (2) по правилам замены независимых пзременных. [c.19] Когда пространство является определенным. [c.20] Аналогичное предложение будет справедливо для цилиндрического диска, или цилиндра с плоскими основаниями, в случае жидкости, обладающей безвихревым движением только в двух измерениях. [c.22] Движение несжимаемой жидкости, которая в некоторый момент находилась в покое, отличается замечательным свойством ( 79), общим всем тем системам, которые приводятся в движение с предписанными скоростями, именно, их энергия является наименьшей возможной. Если предположить, что уравнению непрерывности и граничным условиям удовлетворяет некоторое другое движение, то его энергия будет необходимо больше энергии движения, полученного из состояния покоя 2). [c.22] Наоборот, в теории теплопроводности или теории электричества очевидно, что внутри поверхности 5 не может быть установившегося движения, которое не сопровождалось бы переходом через некоторую часть граничной поверхности если перенести этот результат на несжимаемые жидкости, то мы получаем важный, но сам по себе не очевидный закон. [c.22] Каково бы ни было начальное возмущение (и и s произвольны), его всегда можно разделить на две части, удовлетворяющие соответственно (3) и (4) и распространяющиеся без всякого изменения, В каждой составляющей волне направление распространения совпадает с направлением движения сжатых частей жидкости. [c.25] Во всякой плоской бегущей волне, будет ли она гармонического типа или пет, полная энергия распределяется поровну между потенциальной и кинетической. Наиболее просто получить этот результат можно, вероятно, рассматривая, как образуются положительная и отрицательная волны из начального возмущения, энергия которого полностью потенциальная 2), Полная энергия для каждой из двух образовавшихся бегущих волн, очевидно, одна и та же, и вместе энергия этих волн дает энергию первоначального возмущения. Кроме того, в каждой бегущей волне сжатие (или разрежение) составляет половину того, которое существовало в соответствующей точке вначале таким образом, потенциальная энергия каждой бегущей волны составляет одну четверть энергии первоначального возмущения. А так как, — мы это только что видели,— полная энергия каждой волны равна половине того же количества, то мы заключаем, что в бегущей волне любого типа половину энергии составляет потенциальная энергия и половину — кинетическая. [c.26] Если плоские бегущие волны — гармонического типа, то а и 5 во всякий момент времени являются круговыми функциями одной из пространственных координат (х), и поэтому среднее значение квадратов их равно половине максимального значения. Отсюда полная энергия волн равна кинетической энергии всей данной массы воздуха, движущейся с максимальной скоростью, какую можно найти у волн, или потенциальной энергии той же самой массы воздуха, сжатой до максимальной плотности, встречающейся у волн. [c.27] Скорость звука равна, таким образом, Yили скорости, которую приобрело бы тело, свободно падающее под действием силы тяжести с высоты, равной половине высоты однородной атмосферы. [c.27] Чтобы получить численный результат, нам нужно знать два одновременных вначения и р. [c.27] Вернуться к основной статье