ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Кратные преобразования Фурье. Преобразование Ханкеля из "Нестационарные упругие волны " Предположение о том, что и и (г) для случая п = 1 означает, что и х) — четная функция. Отсюда видно, что (17.7) при п 1 действительно есть преобразование Фурье. При я = 2 преобразование Фурье с точностью до множителя 2я тождественно преобразованию Ханкеля с ядром г/о (9 )- Так как обратное преобразование Фурье имеет комплексно сопряженное ядро, деленное на 4я п = 2), а интегрирование ведется по то из (17.7) следует справедливость формулы обращения в преобразовании Ханкеля с указанным ядром. [c.77] При локальном источнике возмущения в упругой системе в любой момент времени будут также локальными, т. е. будут содержаться в некоторой ограниченной области. Преобразование Лапласа по времени / вследствие запаздывания прихода возмуш,ений с удалением от их источника будет экспоненциально убывать при стремлении пространственной координаты к бесконечности. Отсюда вытекает, что преобразование ЬР (преобразование Фурье над преобразованием Лапласа) существует и является аналитической функцией переменных р и Из указанного свойства следует также законность перемены порядка интегрирования в прямом и обратном преобразованиях ЬР. В общем случае обращение двойного преобразования производится последовательно [4], однако при некоторых условиях возможны существенные упрощения. Приведем здесь ряд приемов, облегчающих анализ (обращение) преобразования ЬР. [c.78] Дополним прямую Ке s = a полуокружностью радиуса r— oo с центром s = а в правой полуплоскости s. Внутри образованного замкнутого контура числитель подынтегрального выражения — регулярная функция s. Используя интегральную формулу Коши и лемму Жордана, получаем формулу (18.3). [c.79] Переход к соотношениям на луче (18.3), (18.5), как будет видно ниже оказывается эффективным при исследовании нестационарной волны, распространяющейся вдоль упругой системы. В окрестности луча, где сосредоточены основные (наиболее заметные) возмущения, функция а (/, t + т]) при достаточно больших значениях / обычно монотонна, а не осциллирует, как при л = onst, и ее изображение легче поддается анализу. Переход к движущейся системе координат представляется естественным также и по той простой причине, что если мы хотим исследовать эволюцию наиболее существенной части волны, то удобнее наблюдать волну, перемещаясь вместе с ней. [c.79] Изображения такого типа возникают в задачах, где отсутствуют естественные единицы измерения длины и времени, например, в задаче о волнах в полуплоскости при действии сосредоточенной силы на ее границе. [c.80] Такого типа изображения возникают в задачах, указанных выше, а также при исследовании ограниченных систем, если с помощью разложения изображения по степеням экспоненты оно представляется в виде суммы изображений отраженных волн. [c.81] Таким образом, при указанных выше условиях двойное преобразование 1Р обращается элементарно, необходимость последовательного использования двух интегральных формул обращения отпадает. [c.81] Отсутствие естественных единиц длины и времени в классической модели теории упругости приводит к однородным / -преобразова-ниям в указанном выше смысле. Это свойство использовано и в методе Смирнова—Соболева построения функционально-инвариантных решений [95] (см. 32). [c.82] Решая систему (18.28), (18.29) относительно к = и г. [c.83] Теперь можно определить Uq. [c.84] как уже говорилось выше ( 11), предел правой части (18.37) при а — О является дельта-функцией Дирака 61 (/ — х). Таким образом, от двойного изображения (18.65) мы пришли к оригиналу, не вычисляя интегралов в формулах обращения. [c.84] Отметим, что приведение обратного преобразования Фурье к преобразованию Лапласа при х О, вообще говоря, возможно и без введения комплексной переменной 5, а именно, путем соответствующей деформации пути интегрирования (см. 20). Такой метод принадлежит Каньяру [125]. [c.84] Сведение линейного уравнения в частных производных к обыкновенному производится умножением всех его членов на ядро преобразования и последующим интегрированием в соответствующих пределах. Собственно преобразование Фурье применяется к уравнениям с постоянными коэффициентами для устранения производных по пространственным координатам, изменяющимся в бесконечных пределах, когда в тех же пределах определена исследуемая упругая система. [c.85] Если уравнения записаны в цилиндрической системе координат, то может применяться преобразование Ханкеля по радиальной координате, причем, если коэффициенты уравнения в прямоугольной системе постоянны, то преобразование Ханкеля приводит к цели так же, как и двойное преобразование Фурье, которому оно по существу эквивалентно. Если система определена в полубесконечном интервале, то применяется косинус- или синус-преобразование, что соответствует четному или нечетному продолжению на бесконечную область. При некоторых условиях, которые будут обсуждены ниже, преобразования в бесконечных или полубесконечных пределах могут применяться и для ограниченных систем, в общем же случае здесь используются преобразования в конечных пределах. Преобразование Лапласа, как правило, применяется по переменной, означающей время, так как в нестационарных задачах нас интересует процесс при / О, а граничные условия по / — начальные условия — обычно задаются при 1 = 0. Однако ввиду того, что преобразования Фурье и Лапласа по существу эквивалентны (в отношении функций, продолженных нулем на отрицательные значения аргумента), они оба могут использоваться (и иногда используются) для преобразований по пространственным и временной переменным. [c.85] Рассмотрим некоторые детали применения интегральных преобразований для решения линейных дифференциальных уравнений. [c.85] Эквивалентность указанных двух формулировок имеет место и в отношении пространственных координат, а именно, задача с ненулевыми граничными условиями становится эквивалентной задаче с нулевыми граничными условиями, если в последней учесть действие некоторых сосредоточенных (обобщенных) объемных сил, расположенных непосредственно у границ. [c.87] Рассмотрим, теперь, пребразование линейной дифференциальной формы более общего вида. Пусть А — такая линейная дифференциальная форма п-то порядка (из производных по переменной х), что после умножения на некоторую функцию / (л ) она становится самосопряженной, т. е. [c.87] Приведенные выше соотношения для преобразования дифференциальных форм позволяют выполнять интегральные преобразования линейных дифференциальных уравнений в частных производных с целью уменьшения числа переменных, по которым производится дифференцирование. [c.88] Именно это обстоятельство позволяет произвести интегральное преобразование с ядром, удовлетворяющим уравнению того же порядка, что и дифференциальная форма Л у что дает возможность наложить на К необходимое число граничных условий. [c.89] Вернуться к основной статье