ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Преобразование Фурье на конечном интервале и некоторые его свойства из "Нестационарные упругие волны " Отметим, что если и (х) — четная функция [а (—х) = и (л )], то Ьп = О, если нечетная [и (—х) == —и (х)], то = 0. Так как произвольную функцию, определенную на интервале (а, Ь), путем линейной замены независимой переменной можно привести к интервалу (О, я), то, продолжив ее в отрицательном направлении четно, получим для нее ряд Фурье лишь из косинусов — ряд по косинусам , а продолжив нечетно, — ряд по синусам . На самом деле, при построении ряда Фурье по косинусам или по синусам не требуется осуществлять указанного продолжения, так как коэффициенты таких рядов определяются преобразованием на полуинтервале (О, я). Здесь существенна лишь возможность продолжения, из которой и следует, что ряды по косинусам или по синусам эквивалентны ряду Фурье соответствующей четной или нечетной функции. [c.50] Приведем некоторые свойства рядов Фурье. [c.50] Фурье при я — сю будут убывать не быстрее, чем. [c.51] Отметим, что тригонометрическая система замкнута. [c.52] Улучшение сходимости. Методы улучшения сходимости ряда Фурье состоят либо в некотором улучшении функции , представляемой данным рядом (выделение особенности), либо в применении специальных способов суммирования. [c.53] К известной функции и 2). Тогда после суммирования плохо сходящейся части ряда придем к представлению (9.20) с рядом, сходящимся быстрее. Этот метод выделения разрывов предложен А. Н. Крыловым [48]. [c.53] Приведенные выше методы суммирования состоят в умножении коэффициентов Фурье на некоторую убывающую функцию /(я), зависящую, кроме того, от числа членов в частной сумме, — такую функцию, что при любом фиксированном значении п /(я) 1 при N - схэ. Эта же идея может быть использована для построения более сильного метода суммирования, который будет использован ниже. [c.54] Отсюда в силу свойств и и R получаем (9.28). [c.55] Использование указанных методов суммирования приводит к улучшению сходимости (точнее, к расширению класса функций, к которым сходится ряд). Однако при этом убывание среднеквадратичного отклонения частной суммы ряда от предельной функции при увеличении N происходит несколько медленнее, поскольку минимальное отклонение соответствует частной сумме ряда Фурье (без множителей сходимости). [c.56] Таким образом, требование минимальности среднеквадратичного отклонения эквивалентно требованию максимальности интеграла от квадрата модуля частной суммы ряда Фурье. [c.57] Вернуться к основной статье