ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Основные постулаты классической теории упругости. . — Дискретная упругая система из "Нестационарные упругие волны " В классической теории упругости предполагается, что деформируемой среде присущи следующие свойства. [c.14] Сплошность. Реальные тела, строго говоря, не являются сплошными, а имеют дискретную структуру. Однако при достаточно плавном изменении напряженного состояния, когда напряжения на расстоянии порядка межатомного или порядка размера зерна в поли-кристаллическом материале можно считать постоянными, влияние дискретности практически отсутствует (проявляется слабо). Таким образом, предположение о сплошности обычно оправданно, введение же этого понятия существенно облегчает построение математической теории упругости и анализ конкретных задач. Вместе с тем результаты, следующие из теории упругости сплошной среды, нельзя абсолютизировать. В частности, поверхности разрыва напряжений и скоростей, определяемые уравнениями динамики сплошной среды, в действительности должны быть несколько размыты, а структура фронта волны должна зависеть от микроструктуры материала. С дискретными моделями связаны первые исследования по теории упругости (см. [20]). В последнее время теория упругой среды с микроструктурой получила значительное развитие [20 22 49 50]. Влияние дискретности на распространение упругой волны будет проиллюстрировано на простом примере в 2. [c.14] Явления, формально эквивалентные нелокальному взаимодействию (или нелокальным инерционным свойствам), возникают и вне связи с дискретностью строения вещества. Нелокальными, например, оказываются связи между обобщенными (осредненными) напряжениями и деформациями при распространении волн в стержне (здесь характерным размером является уже не межатомное расстояние, а поперечный размер стержня), при учете взаимодействия упругого тела с жидкостью, и вообще там, где многомерная задача сводится к рассмотрению величин, имеющих меньшее число измерений. [c.15] Упругость. Упругим называется тело, возвращающееся в первоначальное состояние после снятия нагрузок. Если между напряжениями и деформациями имеет место взаимно однозначное соответствие, то тело называется идеально упругим. В последнем случае работа, совершаемая внешними силами при статическом нагружении, полностью переходит в потенциальную энергию деформации тела. [c.15] Оставаясь в рамках идеально упругой сплошной среды, можно избежать противоречия с законом сохранения энергии в случае линейной упругости. [c.15] Заметим, что слабая нелинейность, проявляющаяся при статических деформациях, меньших (условного) предела пропорциональности, в динамике вследствие кратковременности нагружения может и не проявиться (известно, что, по крайней мере, в некоторых материалах при динамических нагрузках имеет место запаздывание текучести). [c.16] Укажем еще на два предположения, которые не являются необходимыми для формулировки линейной теории упругости, но используются в настоящей книге. [c.16] Изотропность. Изотропной называется среда, свойства которой не зависят от направления. Обычно изотропия не является следствием правильного строения среды, а возникает как статистический результат беспорядочного расположения ее элементов. Так, кристаллы анизотропны, но реальные поликристаллические материалы (например, металлы) представляют собой совокупность случайным образом ориентированных кристаллических зерен — элементов, имеющих почти правильное строение. В результате тело, достаточно большое по сравнению с кристаллическим зерном (в некоторых сплавах размер зерна может достигать долей миллиметра), оказывается изотропным. Вместе с тем анизотропия в малом приводит к неравномерности напряжений и может оказать существенное влияние на быстро изменяющиеся составляющие упругой волны. Точность результатов, определяемых в предположении об изотропности применительно к областям больших градиентов напряжений (т. е. там, где напряжения существенно меняются на расстоянии порядка размера зерна), становится проблематичной. [c.16] Однородность. Однородной называется среда, упругие свойства и плотность которой одинаковы во всех точках. Ясно, что поликристаллическое тело не удовлетворяет этому определению, однако его неоднородность не скажется при достаточно малых градиентах напряжений. Можно сказать, что такое тело однородно в большом — его свойства, осредненные по любой области, размеры которой достаточно велики, постоянны. [c.16] Простейшим пособием для демонстрации продольной волны (волны растяжения— сжатия) служит система тяжелых жестких шариков, расположенных вдоль прямой и последовательно соединенных легкими упругими пружинами (рис. 1). Используя эту систему, проиллюстрируем влияние дискретности на нестационарную плоскую волну. Будем считать показанную на рис. 1 цепочку бесконечной, находящейся вначале в покое и ненапряженной. Пронумеруем шарики, как показано на рисунке. Пусть в момент = О к шарику л = О (л — номер шарика) прикладывается единичная сила, действующая вправо, а при О остающаяся постоянной. Примем здесь, так же как и далее, естественные единицы измерения, а именно массу шарика, жесткость пружины и расстояние между шариками. Последние полагаем материальными точками, а пружины — безынерционными. [c.17] На рис. 2 показаны скорости и ускорения шариков в моменты времени 2 5 10, а на рис. 3 — скорость и ускорение шариков х = 2, х = 5 в период О 10. [c.19] Приведем для сравнения решение аналогичной задачи для сплошной среды. Примем, как и выше, естественные единицы измерения жесткость и плотность среды, и пусть в плоскости л = О в направлении оси х при О действует такая внешняя нагрузка, что на единицу площади в плоскости д = О приходится единичная сила. [c.19] Как видно из приведенных результатов, волна в дискретной среде отличается от волны в сплошной среде колебаниями, постепенно затухающими при х = onst, бесконечностью скорости распространения возмущений (следствие предположения о мгновенном возникновении взаимодействия шариков при их сближении), расплывающимся с течением времени квазифронтом — областью, в которой напряжения относительно быстро возрастают, но не скачком, как на фронте, а плавно (скорости и деформации при удалении от квазифронта с увеличением 1 л — t экспоненциально затухают и становятся исчезающе малыми). [c.19] Если дискретный параметр х в выражениях (2.4) считать изменяющимся непрерывно, то вместо дискретной функции Ux получим непрерывную (аналитическую). [c.19] Таким образом, существенное отличие волны в дискретной среде от волны в сплошной имеет место в районе квазифронта. [c.21] Именно эта теорема дает основание для идеализации системы, так как она утверждает, что реакции различных систем, которым отвечают переходные функции, отличающиеся лишь вначале, при действии достаточно плавной нагрузки одинаковы. [c.22] если наблюдать волну в некоторой точке х, то при достаточно плавной нагрузке нельзя будет заметить, по какой среде — сплошной или дискретной — эта волна распространяется. Однако, как показано выше, ширина квазифронта волны в дискретной среде, где отличия от волны в сплошной среде наиболее существенны, с течением времени неограниченно растет. В связи с этим, чем больше значение координаты X, тем более плавную нагрузку надо взять, чтобы исключить влияние дискретности (различным значениям л дискретной среды соответствуют различные переходные функции). Для наблюдателя, движущегося вместе с фронтом (квазифронтом) волны, более важной оказывается теорема, в некотором смысле противоположная первой. [c.22] Остановимся кратко на механизме перехода части энергии волны во внутреннюю. Потери энергии связаны не только с неупругими деформациями (здесь эту причину рассматривать не будем). Они возникают и в (статически) идеально упругой среде. Большие градиенты во фронте волны могут приводить к раскачке атомов, в результате чего часть энергии переходит в тепло. Чтобы убедиться в этом, достаточно посмотреть на приведенные выше сведения о волне в цепочке шариков, соединенных пружинами. Если перейти к макропараметрам волны, осреднив скорости и деформации ло некоторому числу шариков, то сразу обнаружится, что энергия уменьшилась (скорости и деформации переменны, их арифметическое осреднение приводит к уменьшению суммы квадратов, которой пропорциональна энергия). Основную роль в повышении внутренней энергии играет, однако, нелинейность взаимодействия. Простейшей нелинейной системой (с очень жесткой нелинейностью) оказывается та же цепочка шариков после удаления пружин. [c.23] Этот процесс похож на волну в газе. Отличие, кроме одномерности, в том, что здесь предполагалось отсутствие теплового движения в не возмущенной волной области. В твердом теле (при не слишком большом давлении в волне) нелинейность не проявляется столь сильно, однако природа упругих потерь остается той же. В дальнейшем будем рассматривать слабые волны в упругих материалах, т. е. волны, при распространении которых с влиянием нелинейностей и внутренних потерь можно не считаться. [c.24] Вернуться к основной статье