ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Об абсолютных оптических инструментах из "Общий курс физики Оптика Т 4 " Так как по построению (QQ ) = (QQ ). то s dr = s dl, причем no условию теоремы это соотношение должно выполняться для всех направлений вектора s. Это возможно тогда и только тогда, когда di = dl, т. е. когда точка Q совпадает с Q. Таким образом, любой луч, исходящий из Q, пройдет через Q, что и доказывает достаточность теоремы. [c.124] Чтобы конечная кривая изобраотаась стигматически широкими пучками лучей, необходимо и достаточно, чтобы условия теоремы косинусов выполнялись для каждой пары сопряженных бесконечно малых отрезков этих кривых. [c.124] Из СВОЙСТВ линейного преобразования следует, что в плоскости предмета существует пара взаимно перпендикулярных прямых, которой в плоскости изображения соответствует пара также взаимно перпендикулярных прямых. Если эти четыре прямые принять за координатные оси, то формулы преобразования снова примут вид (19.6), с тем отличием, что теперь обе координатные системы прямоугольны. Вообще говоря, А Ф В. Поэтому изображение бесконечно малой площадки происходит с нарушением подобия бесконечно малый круг изображается в виде эллипса. Только в частном случае, когда А = В, система дает подобные изображения бесконечно малых площадок, находящихся в окрестности точки Р. [c.127] Разность 1 — osa не может обращаться в нуль. Действительно, по предположению угол а не равен нулю. Но заданием направления в какой-либо точке луч определяется однозначно. Если бы а = О, т. е. направления обоих рассматриваемых нами лучей в точке Р совпадали, то они совпадали бы и во всех других точках, в частности в начальной точке Р. Значит, было бы а = О, вопреки предположению. Поэтому, сокращая на п (1 — osa ), из (19.10) находим что и требовалось доказать. [c.127] Из доказанного следует, что отрезки dl и dl изображаются оптической системой с одинаковым увеличением. Следовательно, в рассматриваемом случае в формулах (19.6) А — В, 1. е. увеличение любого отрезка в плоскости предмета не зависит от его направления. Отсюда следует, что изображение происходит с сохранением подобия, т.е. является конформным. [c.128] Но изображение с сохранением подобия характеризуется также сохранением углов. Следовательно, а = а, и формула (19.8) дает п dli = n dl[. Вообще, для всякого отрезка dl, лежащего в плоскости предмета, п dl = п dl, dl /dl = = п/п, и вторая часть теоремы доказана. [c.128] стигматические изображения плоищдок, тангенциально лежащих в поле инструмента, могут происходить только с вполне определенным увеличением п/п. В частности, когда показатели преломления пространств предметов и изображений одинаковы, увеличение равно единице. Это утверждение перестает быть справедливым для площадок, не лежащих тангенциально в поле инструмента. [c.128] Примером может служить преломление на сферической поверхности (рис. 67). Сфера S отображается на сферу S стигматически широкими пучками лучей. Однако линейное увеличение, как видно из построения, равно отношению квадратов показателей преломления, а не их первых степеней. Причина этого в том, что ни одна из сфер S и S не лежит тангенциально в поле инструмента. Напротив, если линейный объект поместить в точку О, то, поскольку последняя является парой совпадающих узловых точек, линейное увеличение будет равно просто отношению показателей преломления в согласии с обсуждаемой нами общей теоремой. Действительно, ввиду шаровой симметрии любой линейный объект, помещенный в центре О, лежит тангенциально в поле инструмента. [c.128] Бесконечно малую часть конечной поверхности можно рассматривать как бесконечно малую плоскую площадку. Поэтоиу для стигматического изображения конечной поверхности необходимо и достаточно, чтобы стигматически изображались все бесконечно малые площадки, на которые можно разбить эту поверхность. [c.128] Пусть точка Р является стигматическим изображением точки Р. Для того чтобы бесконечно малый элежнт объема в окрестности точки Р изображался стигматически, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие теоремы косинусов для трех бесконечно малых отрезков, проходящих через точку Р и не лежащих в одной плоскости. [c.128] Стигматическое изображение элементов объема, гели оно осуществляется широкими пучками лучей, всегда конформно, т. е. происходит с сохранением подобия. При этом линейное увеличение равно п1п, так Что оптическая длина предмета всегда равна оптической длине изображения. [c.128] Как доказано в пре 1ыдущем параграфе, изображения бесконечно малых объектов, даваемые абсолютным оптическим инструментом, всегда конформны. При этом оптическая длина любой линии равна оптической длине ее изображения. Отсюда следует, что в абсолютном оптическом инструменте оптическая длина луча между двумя сопряженными точками одинакова для всех пар сопряженных точек. Это положение называется теоремой Каратеодори. [c.129] Для доказательства возьмем две пары сопряженных точек Р, Р и Q, Q (рис. 76). Через точку Р проведем пучок лучей во всевозможных направлениях. Все эти лучи пересекутся в точке Р. Один из них пройдет через точку Q. Возьмем другой произвольный луч РАР, В силу свойства сопряженных точек РАР ) = (PQP ). Луч PQP, поскольку он проходит через точку Q, должен пройти и через сопряженную ей точку Q. При этом кривая P Q будет оптическим изображением кривой PQ, а потому (PQ) = P Q ). Отсюда следует (QP Q ) = = (PQP ). Сравнивая это равенство с предыдущим, получаем (РАР ) = в= IQP Q ), что и требовалось доказать. [c.129] Докажем теперь, что при постоянных пип абсолютный оптический инструмент возможен только при п п. Для доказательства заметим, что линейное увеличение п1п не зависит от положения объекта. Чтобы определить это увеличение, поместим бесконечно малый объект тангенциально на границе раздела сред. Тогда его изображение, возникающее как при преломлении, так и при отражении, совместится с самим объектом. Отсюда следует, что п1п = 1, и наше утверждение доказано. Таким образом, показатели преломления сред должны быть одинаковы, и никакого преломления не будет. [c.129] Такой случай осуществляется в плоском зеркале или в системе плоских зеркал. Это единственный абсолютный оптический инструмент, возможный при постоянных пип. [c.130] Начало координат О лежит в той же плоскости, а следовательно, и на прямой РР. Вообще говоря, его положение не совпадает с серединой отрезка РР. Исключение составляет только случай, когда диаметрально противоположные точки К п К сферы 5 лежат в координатной плоскости ХУ. В этом случае большой круг, лежащий в той же плоскости, совпадает со своей стереографической проекцией, а потому радиус кривизны светового луча будет равен радиусу сферы 5, т. е. о. [c.131] Ввиду шаровой симметрии все плоскости, проходящие через центр О, эквивалентны. Поэтому луч, исходящий из точки Р, пройдет через сопряженную точку Р, независимо от того, лежит он в координатной плоскости ХК или не лежит. Кроме того, приведенные нами рассуждения применимы для любой пары диаметрально противоположных точек К к К и соответствующей им пары сопряженных точек Р и Р. [c.131] Вернуться к основной статье