ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Нелинейная геометрическая акустика. Искажение однополярных возмущений из "Теоретические основы нелинейной акустики " В том случае, когда N велико, нелинейность учесть довольно просто. [c.235] В другом, наиболее интересном предельном случае малых чисел JV, нелинейность сказывается сильно и решение должно, по-видимому, слабо отличаться от римановского (IX.3.1). [c.237] Сохраняя при всех преобразованиях члены, содержащие множитель N не выше чем в первой степени,- подставим значения производных, вычисленных на основе (IX.4.10), в уравнение (IX.4.7). В силу выбранного специального вида решения (IX.4.10) члены при отсутствуют, и все сохраненные в уравнении члены имеют порядок малости N. Собирая выражения, стоящие при множителях s sin г , о osi)), а sin 2т)), о os 2i 3, псстоянной составляющей, 0 sin f), o os ij), sin Зг з, (.Qg 3 , получим девять уравнений, из которых независимыми оказываются только пять. Заметим, что члены при также сокращаются в силу специального вида решения (IX.4.10). [c.238] Таким образом, задача решена с точностью до членов, содержащих множитель Выражение для R при небольших N действительно слабо отличается от формулы (IX.3.1). [c.239] Существенно, что это выражение не содержит членов порядка N. Изменение ширины пучка энергии происходит только вследствие дифракции — ширина пучка растет. Несмотря на наличие нелинейных членов в выражении для R, формула (IX.4.18) имеет в точности такой же вид, как и в линейном приближении. [c.239] Аналогичным образом можно показать, что величина Я равна нулю также с точностью до членов порядка N . Это означает, что, несмотря на деформацию профиля первоначально гармонической волны, площади ее положительного и отрицательного полупериодов равны, т. е. профиль постоянной составляющей не содержит. [c.239] Вопросы, сформулированные в названии этого параграфа, наиболее подробно рассматривались в работе [112]. Соответствующие материалы можно отыскать также и в статьях [57, 109]. В своем изложении мы будем главным образом следовать работе [112], но дадим несколько менее громоздкий вывод основных уравнений. [c.240] Выбор переменной Q в виде определенной комбинации переменных р и существенно сужает класс решений уравнения (IX.5.10). [c.242] Выражение (IX.5.16) показывает, что импульс сжатия, локализованный в пространстве в виде пучка, по мере распространения расплывается. Этот факт известен в геометрической акустике как нелинейная рефракция лучей. Зависимость ширины пучка от пройденного расстояния представлена на рис. IX.7. [c.244] При Го- - оо величина р стремится к нулю, и выражение (IX.5.13) переходит в решение Римана для плоской волны = ф (р ). [c.244] Кроме того, к краям пучка несколько сокраш,ается длительность импульса. [c.245] На рис. IX.9 показана зависимость р (т) на некотором расстоянии % О от границы нелинейной среды в различных точках поперечного сечения кривая 1 соответствует значению г = О, кривая 2 — г = кривая 3 — г = Га, кривая 4 — г = Гг (значения и Га те же самые, что и на рис. IX.8). [c.245] При хф О множитель перед функцией Ф меньше единицы. С ростом X этот множитель уменьшается, что и означает сокращение длительности импульса по мере распространения. [c.246] Наряду с пространственным сужением происходит и процесс увеличения длительности импульса. [c.246] Это решение описывает в акусто-геометрическом приближении распространение почти сферической волны конечной амплитуды, ограниченной в пространстве в виде параксиального конического пучка, и позволяет рассмотреть сходящиеся и расходящиеся звуковые во ны. [c.247] Зависимость (х/хд) представлена на рис. IX.12. Аргумент произвольной функции Ф позволяет определить распределение амплитуды импульса по сечению пучка. [c.248] Так как на оси пучка величина возмущения больше, то центральные точки уходят вперед, а периферийные отстают, и пучок расходится сильнее. Однако на достаточно больших расстояниях амплитуда волны уменьшается, нелинейность уже не играет существенной роли, и это приводит к стабилизации угловой ширины пучка. [c.249] При этом распространение сферической волны происходит по прямым линиям (г/ж) = onst, на каждой из которых является функцией р ж. Таким образом, при больших X ограниченность пучка не сказывается. [c.249] Эта зависимость изображена на рис. IX.13. Как видно из рис. 1Х.13, пучок сходится быстрее, чем в линейной среде. При выпуклом распределении амплитуды импульса по сечению пучка центральные точки отстают, а краевые выдвигаются вперед, и волна становится более расходящейся. При этом длительность сходящегося импульса сжатия увеличивается. [c.250] Вернуться к основной статье