ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Модифицированный нелинейно-акустический подход. Простые волны с учетом отражения из "Теоретические основы нелинейной акустики " Прежде чем приступить к вычислениям, необходимо условиться относительно порядков малости всех встречающихся переменных. Поскольку величины, характеризующие взаимодействия, являются малыми величинами первого порядка малости, т. е. [c.180] Займемся теперь выводом связей между параметрами у и р, недостающих для решения поставленной задачи. [c.180] Несколько более сложным путем можно прийти к соотношению между параметрами р и г на разрыве. Будем исходить из двух механических условий (В.2.1), (В.2.2), связывающих скачки величин р, V, р при переходе через фронт ударной волны. Эти условия запишем в неподвижной системе координат, учитывая скорость движения поверхности разрыва Пф. [c.181] В качестве пояснения заметим также, что хотя на первый взгляд формально в соотношениях (УП.2.11), (VII.2.12) удержаны только малые члены третьего порядка малости, но структура этих соотношений такова, что при последующих преобразованиях учтенные в них порядки малости повышаются, так что удержание последующих членов разложения оказывается излишним. [c.182] Знак минус здесь принят, поскольку отраженная волна распространяется в сторону, противоположную направлению распространения взаимодействующих простых и ударной волн. Соотношение (VII.2.13) принято линейным в силу малости величины отраженной волны по сравнению с величинами других возмущений. Отраженные волны, вообще говоря, должны нелинейным образом взаимодействовать с гладкими участками профиля, однако такая постановка задачи выходит за рамки принятых в настоящей работе приближений. Мы будем рассматривать отраженные волны как невзаимодействующие друг с другом и с бегущей волной. [c.183] Таким образом, образующиеся в профиле волны разрывы можно рассматривать как генераторы отраженных волн разрежения, распространяющихся в обратном (по сравнению с исходной волной) направлении — к источнику звука. При этом амплитуда суммарной отраженной от одного разрыва волны является величиной третьего порядка малости. Но точно такой же порядок имеет величина скачка энтропии, как это показано во введении, 2. Поэтому для строгого решения настоящей задачи принципиально необходимо использовать неизэнтропическое уравнение состояния и третье условие (В.2.3) на разрыве [98]. [c.184] Сравнивая этот результат с результатом (VII.2.16) менее корректного расчета, легко заметить, что структура самого выражения не изменилась. Изменился лишь численный коэффициент, что никак не должно сказаться на качественной стороне явления. [c.185] Формула (VII.2.16) может быть использована при решении задач о распространении волн конечной амплитуды различных профилей при условии, что волны достаточно интенсивны и пренебрежение эффектами высших, порядков неправомерно. [c.186] пусть на входе системы х = О задается волна в виде симметричной пилы, как это показано на рис. [c.186] Координата а характеризует положение разрыва, формирующего отраженную волну. [c.187] При расчете полной отраженной волны необходимо просуммировать волны, отраженные от всех поверхностей разрыва. Поскольку ударные фронты возникают только при значении параметра о == 1 и образующиеся отраженные волпы разрежения рас-пространяются к излуча-телю (последний следует считать полностью проницаемым), передние фронты отраженных волн для каждого периода возмущений имеют место только в области О 0 1. [c.187] Распространение волн конечной амплитуды, таким образом, сопровождается постоянным течением, известным в акустике как акустический ветер. Следует отметить, что рассмотренное в этом параграфе течение, в отличие от классических акустических потоков (см. гл. VIII), не связано с диссипацией волны и представляет собой чисто нелинейный эффект. [c.188] ВОЛН разрежения, ранространяющихся по направлению к источнику излучения, потребовал введения в целях математической строгости предположения об абсолютной проницаемости источника и условия излучения на отрицательной бесконечности. Разумеется, область разрежения, возникающая в звуковом луче, заполняется окружающими частицами среды, что может вызвать определенные циркуляционные эффекты, однако подобная постановка проблемы выходит за рамки рассмотренной задачи. [c.189] Отметим еще раз, что в области от излучателя до координаты (т = 1 течение постоянно, а при значении ст 1 асимптотически стремится к нулю, сохраняя свое направление от излучателя к приемнику. [c.189] Аналогичные преобразования приводят ко второму уравнению для переменной V. [c.190] Решение уравнения (VII.4.5), анализ которого удобнее всего провести графически, уже указывает на несимметричный характер искажения профиля волны. Отложим, как показано на рис. VII.5, а, по оси абсцисс значение p7po, а по оси ординат — значение шт. Как видим, волновой профиль в соответствии с формулой (VII.4.5) представляет собой сумму трех функций арксинуса, прямой и параболы. При этом тангенс угла наклона прямой увеличивается по мере распространения волны от источника, и это возрастание пропорционально х и амплитудному значению плотности волны на входе системы. [c.191] ВОЛНЫ И может быть построен на любом удалении от источника вплоть до точки формирования разрыва, когда функция становится многозначной. [c.192] Следовательно, достаточно интенсивный симметричный одиночный стационарный скачок распространяется со скоростью, большей скорости звука это приращение скорости пропорционально квадрату акустического числа Маха. [c.194] Качественная оценка изменения скорости распространения фронта волны проводилась в монографии [7], формула (1.5.7). Однако при вычислении скорости фронта в [7] использовались соотношения, справедливые для простых волн. Квадратичные поправки в формуле (1.5.7) определены благодаря учету малых членов третьего порядка малости по числу Маха. Естественно, формула (VII.4.9) не согласуется с формулой (1.5.7), поскольку в последней не учтены отраженные от поверхностей разрыва волны, сказывающиеся именно в третьем порядке малости. [c.194] Таким образом, приращение скорости фронта оказалось численно равным значению б (формула (VII.4.9)), несмотря на принципиально различный подход. Следует отметить, что квазистационарное решение, дающее структуру фронта, остается справедливым и для предельного перехода Ь О, однако такой предельный переход в исходных уравнениях (VII.4.3) и (VII.4.4) неправомерен, поскольку приводит к неоднозначным результатам. Действительно, полагая, например, Ь — при переходе к упрощенному уравнению можно все члены уравнений (VII.4.3), (VII.4.4) умножить на выражение вида 1 + Ар с , где А — константа. При этом изменится нелинейная часть упрощенного уравнения, тогда как диссипативная часть остается без изменений. Эта неоднозначность устраняется как раз благодаря удер/канию малых членов третьего порядка малости по диссипации. [c.195] Вернуться к основной статье