ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Решение уравнения Бюргерса для периодического возмущения (строгое решение) из "Теоретические основы нелинейной акустики " Теория распространения волн конечной амплитуды в вязкой теплопроводящей среде является более сложной по сравнепшо с теорией распространения волн в идеальной среде. При наличии диссипации энергии уравнение состояния среды, вообще говоря, нельзя считать адиабатическим. Вместо с тем известно, что даже при переходе через ударный фронт волны энтропия претерпевает скачок третьего порядка малости (В.2.8). Это дает возможность линеаризовать уравнение переноса тепла (В.1.7) и привести его к виду (В.1.22). Иными словами, мы считаем, что диссипативные процессы линейны или, что более строго, диссипативные коэффициенты т , х являются (наряду с числом Маха) величинами первого порядка малости ( х). В этой главе рассматриваются вопросы второго приближения. Поэтому при упрощении исходной системы уравнений следует сохранять члены до второго порядка малости ( и ) включительно. [c.42] Третий член учитывает пеадиабатичность процесса. Поскольку он содержит только коэффициент х, изменение энтропии будет происходить лишь за счет теплопроводности. [c.43] Поскольку в этой главе рассматриваются волны, бегущие в положительном направлении оси х, следует перейти к сопровождающей системе координат (В. 1.17). При этом необходимо учесть, что искажения профиля волны, вызванные как диссипацией, так и нелинейностью, малы на расстояниях порядка длины волны и процесс должен описываться функцией вида Ф ( ха , г). Это разумное предположение вполне согласуется с анализом распространения волн в идеальной нелинейной среде (см. гл. I) и в неидеальной линейной среде (см. введение, 1). [c.43] Уравнение Бюргерса (II.1.10) позволяет детально исследовать различные эффекты, возникающие при распространении волн в диссипативных средах с квадратичной нелинейностью. Теория второго приближения, которой посвящены работы [25—46], с помощью уравнения Бюргерса может быть изложена в рамках единой точки зрения. [c.44] При значениях Ке 1 вязкие члены преобладают над нелинейными большая диссипация приводит к поглощению волны раньше, чем успеют накопиться нелинейные эффекты. Напротив, при значениях Ке 1 преобладают нелине1шые эффекты и распространение волн по своему характеру близко к распространению волн в идеальной среде. [c.45] Важно отметить, что в диссипативной среде не существует связей типа V (р) или р (г ), характерных для простой волны. [c.45] Как показывают формулы (П.1.12), (И.1.13), связь между параметрами оцределяется не только их мгновенными значениями, но и первыми производными, т. е. является нелокальной. Если профиль достаточно пологий. [c.45] ТО д дх ма,ла и связь параметров почти такая же, как в простой волне. Напротив, при наличии крутых скачков д дх велика, диссипащгя сказывается сильно и волна существенно отличается от простой. [c.46] Таким образом, выражения (И.1.12), (II.1.13) представляют собой обобщение понятия простой волны на ди-сипативные среды (иногда говорят о квазипростых волнах). Легко убедиться, что при подстановке любого из этих выражений в любое из уравнений (II.1.8), (11.1.9) получается уравнение Бюргерса. [c.46] Уравнение (11.1.10) замечательно тем, что оно может быть линеаризовано и приведено к виду обычного уравнения теплопроводности. Тем самым имеется возможность проследить за распространением начального возмущения произвольной формы. Однако анализ общего решения уравнения Бюргерса сравнительно сложен. Этим мы займемся в следующем параграфе, а здесь рассмотрим, как ведет себя возмущение, заданное на входе в виде гармонической волны, при различных значениях числа Рейнольдса. Будем пользоваться приближенными методами. [c.46] Случай больших чисел Рейнольдса (Ке 1) представляется наиболее интересным. Однако здесь пользоваться методом возмущегшй нельзя, поскольку малый параметр — диссипативный коэффициент Ь — стоит при старшей производной. Здесь плодотворным оказывается путь поэтапного рассмотрения процесса, который будет строго обоснован в следующем параграфе. [c.47] Решение (II.2.10) (а следовате.чьно, и (11.2.11)) теряет смысл, когда толш ина 6 ударной волны занимает фазовый интервал — л. Эта формула описывает процесс именно при малом 6 (большие Яе). В предельном случае Ке - оо выражение (11.2.10) приводит к пилообразной волне (1.5.13), подробно рассмотренной в гл. I. [c.50] Интересно, что амплитуда этой волны от i g пе зависит. [c.50] Периодическое по сот решение уравнения (П.З.З) с граничным условием (И.3.4) может быть представлено в двух формах в виде интеграла и в виде ряда Фурье, т. е. [c.51] При значениях Т 1 подынтегральное выражение как функция т имеет вид, представленный на рис. II.5. Теперь главное значение интеграла не может быть взято по малому участку в окрестности экстремальной точки То, так как точка то не является экстремальной. Однако уже при значениях сг таких, что ст — 1 — 1/е Re, значение подынтегрального выражения в точке т0 мало по сравнению со значениями подынтегрального выражения в точках xi и т. Следовательно, главное значение интеграла может быть вычислено как сумма его значений по малым участкам вблизи точек и t.j, т. е. [c.54] Вернуться к основной статье