ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Геометрические свойства герполодин из "Динамика системы твердых тел Т.2 " Если предположить, что знак дискриминанта ие изменяется при любом линейном преобразовании координат, то можно получить простое доказательство этого утверждения. [c.531] Точно так же, если бы при объединении членов, содержащих р, отсутствовал член с ф , то следовало бы к2Т добавить слагаемое Рф и провести те же самые рассуждения. [c.532] Можио также отметить, что для применения этой теоремы не играет роли порядок, в котором переменные последовательно полагаются равными нулю. [c.532] Можно начать с г ) вместо Э, затем положить ф = О для построения следующего дискриминанта и т. д. Таким способом, изменяя порядок переменных, можно получить новую систему условий, очевидно, отличающуюся от первой, но все они будут эквивалентными одна другой. [c.532] То обстоятельство, что дискриминанты (I) и (2) имеют один и тот же знак, можно показать следующим образом. [c.532] Следовательно, знак дискриминанта не изменяется. [c.532] Определитель в выражении (5) равен якобиану от х, у,. .. по 0, ф,. .. и часто называется определителем преобразоваиия. Сравнивая рмулы преобразований (3) и (4), видим, что этот определитель равен единице. Следовательно, дискриминанты (I) и (2) не только имеют один и тот же знак, но и равны один другому. [c.532] Кроме того, из выражения (5) непосредственно вытекает при двойном преаб-разовании теорема, упоминаемая в п. 69. [c.532] Тогда Р1 и рс — наименьший и наибольший радиусы граничных окружностей, а рз — мнимая величина. [c.533] Так как а р У. wo каждая из трех дробей, стоящих в правой части этого уравнения, положительна для всех значений р при условии, что Pi р pj. [c.534] Иэ этого уравнения можно получить R для произвольной точки герполодии, еслн известны ее радиус р и перпендикуляр q на касательную, проведенную в этой точке. [c.534] Заметим, что это отношение зависит не от конкретной полодии, образованной точкой /, а только от эллипсоида. [c.534] Раднус кривизны R п точках границы р Рг находят подобным образом. [c.534] Умножим уравнение (4) на (р — q Y и положим р-= р и, следовательно, q = р . Тогда все члены, стоящие в правой части, кро.ме первого, равны нулю. Так как Р7, то этот первый член отрицателен и поэтому отношение 9 // отрицательно, e v и р = р . Таким же способом найдем, что отношение qlR положительно при р- р , так как а Р 7. Таким образом, Р изменяет знак и обращается поэтому в бесконечность при некотором положительно.ч значении р, которое лежит между двумя граничными окружностями. [c.534] Первое из этих соотношений является результатом алгебраических преобразований выражения, данного выше (см. 2). Второе соотношение следует из формулы R — pdpldq. Эти формулы слишком сложны для постоянного использования. [c.535] Вернуться к основной статье