ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Вынужденные движения одного конца струны. Бесконечные струны из "Динамика системы твердых тел Т.2 " Так как этот ряд является сходящимся, начальное значение изменится лишЬ незначительно, если заменить гх первыми п членами ряда при условии, что п достаточно велико, чтобы обеспечить необходимую степень приближения. После того как это сделано, все начальные услоиия становятся полностью непрерывными, и второй метод решения приводит к конечному значению для представляемому первыми п членами прежнего бесконечного ряда. [c.479] Если X = I, 10 у = 0 и, следовательно, ni - л. Знак S теперь означает суммирование по всем целым положительным значениям г отрицательным значениям i отвечает ряд того же вида. [c.479] Период основного тона равен 211а. Если этот период обозначить через т, то периодами последовательных гармоник будут г, /зТ,. .. и т. д. Длины соответствующих волн находятся в результате умножения периодов на скорость а. Если длина волны основного тона равиа Я, то имеем к -- 21, а длины гармонических волн будут равны к, к, к,. .. и т. д. (см. п. 612d). [c.480] Это значение i/j определяет положение равновесия. Отсюда следует, что действие силы У изменяет среднее полооюение, около которого струна совершает колебания, но не изменяет гармонические периоды. [c.481] Значение Ti не изменяется, за исключение.м того, что бесконечное слагаемое должно быть опущено. [c.481] которые встречаются в природе, вооби е говоря, зависят от относительного положения тел, а не просто от времеии. Тогда силу f sin qat можно рассматривать как первое приближение силы, встречающейся в природе. Когда это имеет место, то обнаружим, что точное равенство периода силы с некоторым естественным периодом движения нарушится, если скорректировать период (как в п. 356) и принять во внимание сопротивление (как в п. 339). [c.482] Пример 3. Тяжелая струна подвешена вертикально за однн конец без растяжения каких-либо ее частей. Затем на нее действуют снлы тяжести. Доказать, что нижний конец будет совершать такие колебания, как если бы на него действовала сила, ускорение которой было бы равно ускорению снлы тяжести, приложенной в средней точке ее траектории. [c.482] Пример 6. Обруч массы М и естественной длины 2я/, сделанный из упругой струны, натянут на гладкий круговой цилиндр. Доказать, что время, за которое продольная пульсация обойдет вокруг цилиндра, не зависит от размера цнлнндра. [c.483] Этот результат является непосредственным следствием наложения двух отдельных перемещений, вызываемых вынужденными колебаниями каждого конца. [c.484] Полное выражение для у находится в результате добавления свободных колебаний и опускания бесконечно большого слагаемого. [c.484] Для получения этих результатов отметим, что первые два члена в выражении для у представляют собой ординаты равновесного положения А В струны. Начальные условия суть у = h прн х = О, у = k при х = I, у = (х), dy/dt = = ф (х) во всех промежуточных точках. Первые два условия выполняются, если п1 = in. Постоянные Сп и вычисляются по правилу Фурье (п. 398) так, чтобы удовлетворить оставшимся условиям. [c.484] Если значение i меньше, чем и, то движение в момент времени t дается тем же самым выражением после замены и иа t в первых двух членах и верхнем пределе интегрирования. [c.484] Для доказательства этих утверждений отметим, что еслн в формулах примера 3 заменить ф (л ) и iJ) (х) на нуль, то получим выражения, определяющие движенне струны, которое вызвано мгновенными перемещениями h, k двух ее концов и справедливое для любого момента t после сообщения такого возмущения. Если затем заменить h к k соответственно на f (и) du и F (и) du, а также t иа I — , то получим уравнение, определяющее движение в момент t, которое вызвано возмущением концов струны за время du. Интегрируя его от и = О до и = и, получим выражение, определяющее движение струны, вызванное возбуждением ее концов за промежуток времени п. Сложим это движение с движением, вызванным начальным возмущением] / = f (0) и k = F (0) концов струны, а также с движением, определяемым начальным возмущением промежуточных точек, как это было сделано в примере 3. [c.484] Эту формулу можно применить для специального случая, когда один конец закреплен, а другой совершает вынужденное движение, описываемое выражением G sin qat. Видим, что этот результат согласуется с результатом, полученным в п. 618 прн разложении по правилу Фурье sin 7 /sin q / и x l в ряды вида SP sin пх. [c.485] Заменяя x на atx и исключая F, находим y=f(at — x)—f(at+x)+G sin qx. [c.485] Таким образом, f (z) = G sin qz — Vi или f (z) = — /a в зависимости от того, является ли г положительным или отрицательным. Очевидно, при подстановке этих функций в выражение для у члеи / С выпадает во всех случаях. [c.485] Если х at, то подстановка дает у = 0. Если х at, то результат принимает вид у = G sinq (at — x). Следовательно, возбуждение перемещается вдоль струны и распространяется на длину ОМ = at за фронтом М струна находится в невозмущенном состоянии. [c.485] Если в какой-нибудь момент i= возбуждающая сила, приложенная в точке О, прекращает действовать, то это явление можно представить как результат действия новой силы, также приложенной в точке О и достаточной для того, чтобы вызвать перемещение —G sin qat. В результате этого второе возбуждение будет следовать за первым и распространится иа длину ON = а (t— t ). Эти возбуждения погасят одно другое во всех точках вплоть до точки N. Возмущенной останется только часть MN струны, и это возмущение будет описываться уравнением у — G q (at — дг). [c.485] Вернуться к основной статье