ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Основное уравнение движения. Колебания циклоидальной цепи. Примеры из "Динамика системы твердых тел Т.2 " Можно отметить, что 1) это выражение не зависит от времени 2) натяжение в любой точке цепи равно полному весу части цепи, расположенной ниже этой точки. [c.456] Пусть т — полный период главного колебания, которое соответствует корню р уравнения Бесселя (10) тогда рт = - 4я ]/ // . Таким образом, периоды колебаний для различных цепей- изменяются как квадратные корни из их длин. [c.458] Для того чтобы цепь могла совершать главное колебание, первоначально ее следует привести в состояние нокоя и придать форму кривой у — Jn (р%), где С — некоторая произвольная постоянная, а = I — х. [c.458] Пример 2. Показать также, что периоды гармонических колебаний цепи и груза даются уравнением tgfe[(/- - / ) — = I. [c.458] Отсюда с помощью подстановки получаем искомый результат. [c.459] Требуемый результат можно получить непосредственно из известных соотношений между Уп и 0, приводимых в трактатах о бесселевых функциях. [c.459] Отсюда следует, что если отдельная волна распространяется вдоль цепи вверх, то скорость возрастает по мере приближения волны к верхнему концу. Верхняя граница волны перемещается несколько быстрее, чем нижняя, так как натяжение на верхней границе превосходит иатяжение на нижней границе. Поэтому длина волны постепенно будет увеличиваться. Если волна перемещается вниз по цепи, то по аналогичным соображениям скорость ее распространения будет уменьшаться. [c.460] Если цепь однородна, то границы отдельной волны перемещаются вверх по цепи с ускорением, равным по.ювине ускорения силы тяжести, а вниз по цепи — с замедлением, численно равным тому же самому значению. [c.460] Пример. Цепь находится в равновесии под действием произвольных сил, зависящих только от положения в пространстве элемента, к которому оии приложены. Покажите, что скорость каждой из границ отдельной волны определяется четвертой частью хорды круга кривизны, проведенной в граничной точке в направлении результирующей силы. [c.462] Пусть дана невозмущенная форма кривой, и пусть р известно как функция от а. Тогда для нахождения ф как функции от а и / можно использовать уравнение (10), Затем из уравнения (9) определяется натяжеиие, а из уравнений (7) — перемещения I и г] любой точки цепи. [c.463] Следовательно, имеется четыре произвольные функцни, значения которых должны быть определены из ус.човий рассматриваемой задачи. Пусть ад и tj — значения а, соответствующие двум концам нити. Затем пусть заданы нз условий задачи значения ф и d(f/dt для всех значений а от а — ац до а а, прн t — = О, а также начальные значения А н В. Таким образом, значения (Р) и X (Q) определяются для всех значений Р и Q, заключенных между двумя пределами, которые соответствуют а = о, / = О и а - - а,, / 0. Вид функций и X для значений Р и Q, лежащих вне этих пределов, и значения Л и В, еслн t не равно нулю, должны находиться из условий на концах цепн. Если концы закреплены, то для всех значеннй i обе координаты и т] равны нулю прн а = Uq и а — а,. Может случиться, что произвольные функции Л, В, ф и X окажутся разрывными. [c.463] Во многих случаях условия задачи позволяют сразу определить вид функции С. Так, предположим, что в равновесии нить симметрична относительно вертикальной прямой, например оси /, и пусть точки закрепления находятся на одной и той же горизонтальной прямой. Тогда, если начальные условия движеиня также обладают симметрией относительно точки t/, то в последующем движение будет симметричным. Поэтому ф должна быть функцией от а, содержащей после разложения ее в ряд только четные степепи а. Подставляя этот ряд в уравнение (10), находим, что С должно быть равно нулю. [c.463] Уравнение, определяющее колебания, теперь прнни.мает внд = + + в котором все коэффициенты постоянны. [c.463] Имеются два типа движения, которые необходимо рассмотреть 1) когда цепь совершает колебания вверх — вниз, 2) когда колебания цепн совершаются из стороны в сторону. Результаты указаны в следующих двух примерах. [c.463] Таким образом, это уравнение служит для определения возможных периодов симметричных колебаний неоднородной цепи, имеющей при равновесии форму циклоиды. [c.464] зависящие от os ki, включены в эти выражения для и Т) введением к в аргумент тригонометрической функции, фигурирующей в качестве множителя. [c.465] Вернуться к основной статье