ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Ь—458с. Замена независимой переменной из "Динамика системы твердых тел Т.2 " Это соотношение удовлетворяется при bt = О, по так как время перехода не одно и то же для действительного н варьированного движений, этот множитель может быть отброшен. Кроме того, Т — однородная квадратичная функция относительно q, и, следователыю, 2 dTldq ) q = 2Т. Подставляя вместо W его явное выражение и используя это равенство, находим (1-f X) Т h + Л) = 0. Но I выбирается так, чтобы Т — U = h, следовательно, X = —и — Г -+-+ U+h. [c.344] Теперь рассмотрим подынтегральное выражение. Так как все aq произвольны, то коэффициент при каЖ/ЧОМ aq равен нулю, и это сразу дает уравнення Лагранжа. [c.344] В непосредственной близости от этой границы вариации координат могут быть ограничены с одной стороны. Следовательно, дпиженне вдоль границы, хоть и не задается стандартными уравнениями вариационного исчисления, может минимизировать действие. [c.345] Очевидно, невозможно заставить систему двигаться вдоль границы, описываемой уравнением С/ Н- /I = О, так как это условие требует, чтобы все скорости были нулями. Но система может двигаться сколь угодно близко к этой границе со сколь угодно малым полным действием . Таким образом, минимуму действия может соответствовать следующее граничное движение. Сначала выпустим систему из ее данного начального положения А с такими скоростями и направлениями движения, отвечающими заданной энергии, чтобы все частицы одиовремеиио пришли в состояние покоя. При предположении, что определенные таким образом начальные условия будут действительными, система, когда она придет в состояние покоя, окажется на границе. Обозначим это положение через В. Следующий этап движения происходит в непосредственной близости от границы, пока система не достигнет такого положения С, что, будучи отпун енной без начальной скорости, она пройдет под действием сил (проекции которых являются производными от 11) через конечное положение О. Движения от точки А к точке В и от точки С к точке О обеспечивают минимальность действия, в то время как действие, соответствующее движению от точки В к точке С, может быть сделано сколь угодно малым 2). [c.345] Таким же образом, если N — некоторое положение системы, выбранное на траектории смежного движения около точки С, то можно показать, что действие вдоль кривой N D больше, чем вдоль кривой D. Действие вдоль кривой M N также больше, чем вдоль кривой ВС. Отсюда следует, что пока расстояние в пространстве между положениями В и С конечно, действие вдоль траекторий AB D меньше, чем вдоль траектории любого смежного движеиия. [c.346] Если частица начинает двигаться из точки А в направлении перигелия, то предельная точка С будет находиться на пересечении прямой Л5 и эллипса. Если движение осуществляется между точками Л и С, то можно получить бесконечное число решений поворотом эллипса вокруг прямой АС. Якоби полагал, что если в последнем случае конечная точка В расположена за точкой С, то между двумя данными точками должна существовать кривая, для которой значение действия меньше, чем для эллипса. Но это предположение не обязательно, так как в этом случае граничное движение, о котором шла речь в п. 456, дает минимум. [c.347] Для построения эллиптической траектории от точки А к точке В Якоби предлагает строить две окружности с центрами в точках А п В, которые пересекаются в другом фокусе Н. Таких точек пересечения — две, и онн расположены по разные стороны от прямой АВ. Таким образом, оба 4 окуса 8 и Н одной из эллиптических траекторий лежат по одну сторону от прямой АВ, а фокусы другой траектории — по разные стороны от АВ. Очевидно, что для второй траектории точка В находится за точкой С, соответствующей этому эллипсу, и на этой траектории действие не является минимальным. Следовательно, действие достигает минимума на первой траектории, оба фокуса которой лежат по одну сторону от прямой АВ. [c.347] Если точка В находится вне эллипса достижимости, частица может достичь точки В только при принудительном перемещении ее в эту точку по какой-нибудь кривой. Кривая, на которой действие достигает минимума, может быть найдена следующим построением. Продолжим радиусы ОА и ОВ до пересечения в точках Е и Е с эллипсом достижимости. Требуемая траектория бесконечно близка к кривой АЕЕВ. [c.348] Для доказательства этих утверждений найдем такое направление бросания из точки А, чтобы частица могла пройти через точку В. Заметим, что еслн расстояние ОО = к, то сумма квадратов любых двух сопряженных полуосей эллиптической траектории равна Пусть N — середина отрезка АВ. Обозначим расстояние ОН = хн ЫА = ЫВ = у. Пусть требуемое направление бросания из точки А пересекает продолжение отрезка ОЫ в точке Т. Далее, из уравнения эллипса получим квадратное уравнение для определения расстояния ОТ, показываюн1ее, что, вообще говоря, существуют две эллиптические траектории перехода из точки А в точку В. Пусть касательные к ним в точке А пересекают продолжение отрезка ОЫ в точках Т н У из квадратного уравнения следует, что От-Ои = = к к ЫТ-Ыи = ф. Этн уравнения определяют точки Т н и. [c.348] Сразу видно, что эти два направления бросания совпадают, когда расстояние ОТ = к, т. е. когда касательные в точках Л н В, а именно АТ н ВТ, образуют прямой угол. [c.348] Опишем две окружности с центрами в точках О и н с радиусами, равными к и у соответственно. Третью окружность построим на отрезке Ти как на диаметре. Так как ОТ-011 = к , эта третья окружность пересекает окружность с центром О под прямыми углами. Аналогично она пересекает окружность с центром в точке Ы под прямыми углами. Касательные, проведенные из центра этой третьей окружности к двум другим, следовательно, равны. Таким образом, центр Я находится на радикальной оси ) окружностей с центрами в точках О и Ы. Это дает простое геометрическое построение для определения точек Т и 1/. [c.348] Точки Т я и будут мнимыми, пока радикальная ось лежит вне окружностей. Следовательно, окружности не должны пересекаться. Поэтому ОЫ -1- ЫА должно быть меныне, чем к. Продолжим отрезок АО до точки Л, так что ОА = ОА. Отсюда видно, что АВ ВЛ должно быть меныне чем 2к. Следовательно, если точка В лежит вне эллипса с фокусами Л и Л н большей осью 2к, частица, выпущенная из точки А, не может пройти через точку В. [c.348] Пример 2. Частица, брошенная иэ данной точки А, движется под действием силы тяжести. Пусть АС — фокальная хорда описываемой параболы. Доказать, что если точка В расположена па параболе не между точками Л и С, то действие вдоль отрезка АВ этой параболы не минимально. Найти траекторию, которая доставляет действию минимум, в случае, когда точка В лежит за точкой С. [c.348] Первый результат сразу следует нз примера, рассмотренного Якоби. Чтобы ответить на оба эти вопроса, заметим, что существуют два направления (если вообще существуют), по которым можно бросить частицу из данной точки Л, чтобы она гфошла через другую данную точку В. Им соответствуют свои фокусы 5, 5 — однн выше и другой ниже хорды АВ, такие, что отрезки 55 и АВ пересекаются под прямым углом и делят друг друга пополам. Эти траектории совпадают, когда точка В совпадает с точкой С, и где бы ни была точка В, одна нз траекторий имеет фокус ниже прямой АВ. Эта парабола и есть искомая траектория. [c.348] Дифференциал времени йх можно определить следующим образом. Замена пере.менной на т равносильна замене равномерно идущих часов, которые измеряют Л на такие часы, у которых каждый элемент йх иеравномерного времени равен Р й(, где Р — функция мгновенного положения системы. [c.349] Отсюда следует, что Lidx принимает экстремальное значение при предположении, что начальное и конечное положения заданы и h постоянно. [c.350] Наоборот, можно вывести уравнения динамики, используя стандартные методы вариационного исчисления, в которых координаты рассматриваются как независимые переменные. [c.350] Вводя функцию 1+ X [PTi — (U т h)lP], освободимся от условия, что вариации не должны изменять h, и посредством таких же выкладок, как в п. 453, получим, что X = 0. [c.350] Для доказательства заменим независимую переменную с помощью соотношения dx = dtlM. Тогда множитель М из уравнений исчезнет и результат станет очевидным. [c.350] Вернуться к основной статье