ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Примеры из "Динамика системы твердых тел Т.2 " Чтобы более ясно представить себе движение каждой частицы, перемещающейся нз положений равновесия (на осн х) параллельно осн у, проведем ординаты, длины которых равны перемещениям частиц в момент времени t. О характере движения можно наглядно судить по виду кривой, изображаемой концами ординат. Точки пересечения этой кривой с осью х называются узлами, а максимумы и минимумы ординат—пучностями. [c.333] В примере из п. 402 эти ординаты являются действительными перемещениями каждой отдельной частицы. В общем случае, который мы сейчас рассматриваем, эта кривая просто дает удобный способ наглядного представления изменяющегося состояния системы. [c.333] Пусть все возможные значения р расположены в возрастающем порядке, начиная с наименьшего. [c.333] Можно показать, что в решении, отвечающем наименьшему значению р, все ординаты в один и тот же момент, времени имеют одинаковый знак. Таким образом, во все время движения указанная характеристическая кривая образует дугу с одной пучностью, которая совершает колебания, переходя с одной стороны от оси X на другую. [c.333] В решении, отвечающем третьему корню, в любой момент времени среди значений ординат имеются две перемены знака. Таким образом, характеристическая кривая образует три пучности, разделенные двумя узлами, и так далее для всех значений р. [c.334] Во всех этих случаях узлы, которые принадлежат какому-нибудь значению р, разделяются узлами, принадлежащими следующему (по порядку) значению р. [c.334] Допустим противное, т. е. что Уа-1, , Ук 1 имеют одинаковый знак. Тогда каждый нз четырех членов в правой части равенства ( ) имеет знак, противоположный знаку произведения ХкУк, что противоречит лемме. [c.334] Здесь не делалось никаких предположений относительно функции а, но относительно Ьк и т предполагалось, что онн имеют одинаковый знак и сохраняют этот знак при всех значениях к. [c.334] Если бы Kj, Kj, Уk+г были все одинакового знака, то каждый члеи в левой части имел бы тот же знак, а два члена в правой части — противоположный ему знак, что невозможно. [c.335] Аналогичное замечание можно сделать относительно интервала, примыкающего к другому концу. [c.335] Из этого соотиошения непосредственно следует, что ни одно значение р не может удовлетворять одновременно уравнениям iJ) (р) = О и iji (р) = 0. Следовательно, уравнение ij) (р) = О не может иметь равные корни. [c.336] Пример 3. Пусть величины йк, Ьк к гпк — все положительны н 2л1р — наибольший период главных колебаний. Доказать, что р меньше, чем наибольшая нз величин йк - - Ьк Ь bk t)lmk, и превосходит наименьшую из величин а /га. [c.336] Пример 4. Показать, что еслн функции ак, Ьк и величины %, имеют один и тот же знак или равны нулю, то ни одно значение р не может быть равно нулю. [c.336] Пример 5. Пусть ук= Xk npt и ук= Y к sin qt (q р) представляют два главных колебательных движения. Рассмотрим интервал, скажем Ха,. .., Хк, все элементы которого имеют один знак и такой, что Хк находится в пучности, а узел лежит между Xa i и Х . Доказать, что внутри интервала Ya-i, , Yk лежит либо узел либо пучность. [c.336] Используя это, показать, что внутри (или иа границе) отрезка, соединяющего любой узел с любой пучностью колебания с каким-то периодом, должны находиться либо узел либо пуч1юсть колебания с более коротким периодом. [c.336] Вернуться к основной статье