ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Трн свойства величины из "Динамика системы твердых тел Т.2 " В момент времени I = и вторая функция и ее производная по t уничтожаются для всех значений к от к= I до й = + 1. Таким образом, начальные условия движения, отвечающие этому моменту временн, определяются первой функцией. Следователыю, приведенное выражение определяет движеиие, вызванное этими двумя возмущениями для всех значений / от = и до — оо. [c.319] Так как по истечении времени t и возбуждающая сила прекращает действовать, ясно, что движение после этого момента складывается из свободных колебаний нити с закрепленными концами. В соответствии с этим, если вместо функции f (к, t — и) подставить ее выражение, данное в п. 407, то мы увидим, что выражение для у будет состоять из п колебаний с периодами, которые были найдены в п. 404. Их амплитуды и фазы зависят от действия возбуждающей силы. [c.319] При sin 0 = х/(2с) подынтегральное выражение не обращается в бесконечность, так как последний множитель при этом значении равен я/(4р, ). [c.319] Это символическая запись решения уравнения в конечных разностях с двумя произвольными функциями I (t) к F (I). Если эти функции заданы, то операции, входящие в Q, можно выполнить, и решение уравнений в конечных разностях будет найдено. [c.320] Рассматривая отделыю какой-нибудь один член первого ряда, мы видим, что он не изменится при замене e на 1 и / на /- - Т, где Т определяется соотношением (с sin 0) Т = 0. Следовательно (точно так же, как в п. 87), выделенный член определяет волну, которая проходит расстояние между двумя частицами за время Т. Аналогичным образом получаем, что соответствующий члеи второго ряда определяет волну, которая движется в противоположном направлении с той же скоростью (см. п. 410). [c.320] Так как значение 0 находится между О и видим, что величины скоростей всех этих волн лежат между а и 2а/я, длина каждой волны больще чем 21, и период колебаний каждой частицы больше чем пИа. Чем длиннее волны, тем с большей степенью точности мы можем считать, что они движутся с одной и той же скоростью. [c.320] Пример 3. Локомотив тянет состав из одинаковых вагонов, соединенных пружинными спецеплеииями, которые выдерживают предельное усилие ц. Скорость локомотива равна А В s nqt. Каждый вагон опирается на четыре одинаковых колеса. Пусть М — масса вагона, а т, Ь, k — соответственно масса, радиус и радиус инерции колеса. Показать, что при условии Bq (М -f 4m) W - -+ 4mk 2цЬ сцепления могут разорваться. [c.321] Пример 5. Некоторое число блоков, имеющих вид однородных круглых дисков с одинаковыми радиусами а (их массы могут быть различны), расположены в одной вертикальной плоскости и могут свободно Вращаться вокруг своих центров, закрепленных на одной горизонтальной прямой / на расстоянии 4а один от другого. Через эти блоки перекинута тонкая шероховатая нить неопределенной длины, имеющая на своих концах одинаковые частицы массой т. каждая. Между рассмотренными блоками на нить положены подвижные блоки в виде однородных круглых дисков радиусом а и массой 2т каждый так, чтобы нить свисала и ее части, не находящиеся в контакте с блоками были вертикальны. Показать, что если система находится в движении под действием силы тяжести, то пока центры всех гюдвиж/гых блоков находятся ниже прямой /, все части этой системы будут двигаться равномерно. [c.322] Пример 1. Пусть в качестве элементов цепи чередуются однородные стержни длиной 2а каждый и неупругие нити длиной 21 каждая, причем число стержней равно числу нитей. Система растянута так, что стержни и иити располагаются по одной прямой линии, а начало первой нити закреплено в неподвижной точке А и конец последнего стержня — в неподвижной точке В. Затем система слегка смещается в плоскости. Требуется найти малые колебания. [c.322] Это квадратное уравнение дает два положительных значения р , разделенных величиной р = (1 — os 0) ТИ. Значения os 0 определяются рмулой os в = = os (inin), где ( пробегает все целые значения от = 1 до i = и — 1. Значения I — О и I = ft исключаются, так как тогда р = pi, а в этом случае решеине (9) изменяет свой характер и содержит полиномы от к. [c.323] Так как величина pi обратна к р и не может иметь такое же значение, как р, мы должны положить = 0. Подставляя эти значения р и Хх в соотиошеиия (9), получим решение, соответствуюш,ее условиям (12). [c.324] Особенность движения прн условиях (12) состоит в том, что /к + — О для всех значений к, так что второй конец каждого стержня находится в покое ео все время двиокения. [c.324] Система имеет 3/г координат, а именно У1,. .., уп, 71,. ... 9п, 1,. .., п — 1 связь вида (3) и еще две связи, определяемые условиями (4). Соглааю правилу Лаграижа для определения колебаний системы около положения равновесия нужно иметь 2/г — 1 значений величины р . Из этого числа значеннй 2 (и — 1) определяются п — I значениями соз 6 = соз (Ып), каждое из которых приводит к квадратному уравнению (14) для р с неравными корнями. Еще одиа величина р . определяется уравнениями (16). [c.324] При наличии маховиков движеиие нельзя разложить иа два независимых колебания в перпендикулярных плоскостях. Следовательно, эту задачу необходимо рассматривать как существенно трехмерную. [c.324] Пусть ось г направлена по АВ и оси х п у фиксированы в пространстве. Пусть (хк Ук) — координаты центра тяжести к-го стержня, (Рк, Як, ) — его направляющие косинусы, (г , з, I) — направляющие косинусы предшествующей ннти. Пусть масса каждого стержня вместе с маховиком равна единице, С и Л — моменты инерции каждого маховика относительно осей, проходящих через цеитр тяжести и направленных вдоль стержня и перпендикулярно к иему. Пусть п — угловая скорость любого маховика относительно его оси (п постоянно во все время движения), Т — натяжение, V — число стержней. [c.324] В этих уравнениях штрихи обозначают производные по времени. [c.325] Моменты сил вычисляются по обычным правилам статики, а именно, L = = 2 (У — 2К). Другой способ построения этих уравнений дан в п. 15. [c.325] Вернуться к основной статье