ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Метод отделения из "Динамика системы твердых тел Т.2 " Этот метод хорошо использовать, если выделяемая экспонента соответствует простому корню определяющего уравнения. Но им можно воспользоваться и в случае кратных корней. Осложнение возникает из-за того, что тогда экспоненте отвечает несколько постоянных, число которых равно кратности корня. Нахождение значения каждой из них связано с выполнением отдельных операций. [c.290] Наша задача теперь состоит в том, чтобы найти любой из этих коэффициентов, скажем М, без определения остальных. [c.291] Этот определитель строится по следующему правилу. Вычеркнем из определителя Д (6) какой-нибудь столбец, скажем первый. На его место поместим столбец, получаемый следующим образом разделим первое уравнение на б—га и, отбрасывая остаток, возьмем частное в качестве первого элемента иско.чого столбца-, разделим второе уравнение на б—т и возьмем частное в качестве второго элемента. Наконец, в остальных столбцах положим Ьт. [c.291] Еслн в определителе Л (б) или Д (т) вычеркнуть второй столбец, то получим несколько отличающийся определитель, который обозначим через Пг (га) с индексом, указываю1цим помер вычеркиваемого столбца определителя Д (га). [c.291] Очевидно, определитель 1 (т) является функцией от х, у. б с, Ьу,. .. [c.291] Приравнивая его нулю, находим, что одно значение от равно т = — 1. Найдем коэффициент при в выражении для х. Деля уравнения иа б + 1 и отбрасывая остатки, сразу получаем второй определитель, т. е. [c.292] Точно так же можио показать, что выражение для х содержит член Лi e где —ЗМ — 2б с Ьу — Ъх — у. [c.292] Пример 2. Возьмем другой пример, в котором имеются производные более высокого порядка, и для краткости ограничимся пока двумя зависимыми переменными. [c.292] Пусть р — некоторая величина, которую будем писать вместо га в выражении для определителя П для того, чтобы подчеркнуть, что р не обязательно является корнем уравнения А (6) = 0. [c.292] Рассмотрим первый нз этих определителей. Его первый столбец составлен нз функций, которые служат левыми частями дифференциальных уравненнй. Следовательно, этот определитель равен нулю, какими бы нн были значения X, у,. .., удовлетворяющие дифференциальным уравнениям. [c.292] Здесь р — величина, выбором которой можно распорядиться, а х, у,. .. имеют любые значения, удовлетворяющие дифференциальным уравнениям. [c.293] Для определения значения постоянной С положим (=0. Тогда второй член в левой части обращается в нуль, пото.му что пределы интегрирования совпадают. Отсюда следует, что С равно значению П (р), если вместо х, у,. .. подставить их начальные значения. [c.293] Заметим, что первый из двух членов в левой части представляет собой линейную функцию от х, у,. .. и нх производных ио I. Поэтому он порождает члены со степенями I, меньшими а. Тогда, если ограничиться значениями к большими, чем а — 1, то далее можно не принимать во внимание этот член. [c.294] В этом выражении опущены все производные от А (р), порядок которых меньше а, потому что уравнение Д р) — О, по предположению, имеет а корней, равных т. [c.294] Поскольку это выражение равно нулю при = О, то в результат интегрирования не нужно вносить никаких поправок. [c.294] Поскольку с равно начальному значению П (га), то более удобно заменить С последним выражением, считая, что все координаты имеют свои начальные значения. [c.295] Мы получили необходимое число уравнений для нахождения а произвольных постоянных, входящих в выражение для х, и не нуждаемся в соответствующих выражениях для других координат. [c.295] Если все первые миноры определителя Д (O) имеют р корней, равных т, то первые Р операторов в правой части уничтожаются, каковы бы ни были х, у,. .. Следовательно, в этом случае все коэффициенты M i,. ... М р равны нулю. Таким образом, выражение для х (как уже объяснялось в п. 272) теряет Р из своих старших степеней t. [c.295] Точно так же можно найтн постоянные, входящие в выражение для у, используя вместо П оператор, обозначенный в п. 366 через Иг. [c.295] Вернуться к основной статье