ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Колебания маятника в сопротивляющейся среде из "Динамика системы твердых тел Т.2 " что если в этом преобразовании квадратный корень, входящий в коэффициент, считать положительным, то угол, добавляемый к фазе, должен быть таким, чтобы его синус имел такой же знак, как знак М, а его косинус — такой же знак, как знак L. Следовательно, все возможные значения добавляемого к фазе угла отличаются на величину, кратную 2я. [c.281] Изменение фазы для любой координаты зависит, таким образом, от значений L и М для этой координаты. Их легко найти, пользуясь правилом, данным в п. 327, где показано, что если подставить o = —k + к i—1 в оператор I fi)la (o) для этой координат . , то в результате получим L - - М ]i —1. [c.281] 337 было показано, что если силы сопротивления малы, то гармоническая возмущающая сила, период которой приближенно равен периоду какого-либо из свободных колебаний, вызывает возрастание амплитуды вынужденных колебаний. Отсюда следует, что малая сила надлежащего периода, которая появилась бы в диффереициальных уравнениях только тогда, когда мы включаем в рассмотрение члены (скажем) третьего порядка, может вызвать в координатах колебания, которые будут иметь второй или первый порядок. [c.282] Поэтому, если мы хотим, чтобы наши результаты были верны с точностью до какого-либо заданного порядка, то необходимо будет в дифференциальных уравнениях сохранить те периодические члены высших порядков, периоды которых весьма близки к какому-нибудь из периодов свободных колебаний. [c.282] Мы также видим важность получения более высоких приближений. Эти малые члены, вызывающие столь большие вынужденные колебания, могут остаться незамеченными, пока не исследованы члены более высоких порядков. Таким образом, если мы остановимся на первом приближении ), могут быть упущены некоторые значительные колебания. [c.282] Это говорит о том, что решение, взятое нами в качестве первого приближения, недостаточно близко к истинному решению, и оно не может служить первым приближением. В большинстве динамических задач возмущаюш,ие силы задаются как функцни координат и выражаются затем с помощью приближенного решения как функции времени. Таким образом, выражения для сил сами яп-ляются только приближениями. Поэтому может случиться, что когда мы имеем нозможпость получить более точное первое приближение к движению, малые члены, которые указывают, насколько велико отклонение от первого приближения, могут вообще не появиться. [c.283] Для нахождения достаточно хорошего первого приближения к движению может оказаться недостаточным взять решение дифференциальных уравнений, получающихся при отбрасывании всех членов высших порядков. Необходимо включить в эти дифференциальные уравнения все те малые члены высших порядков, которые существенно влияют на движение. Решение этих видоизмененных уравнений если оно может быть найдено) следует принять в качестве нашего первого приближения. [c.283] Повторим паши рассуждения в несколько иной форме. Первое приближение содержит все самые большие члены в выражениях для координат и обычно может быть взято для представления наблюдаемого движеиия системы. Если теперь иа систему действует возмущающая сила, подобная той, которую мы только что описали, она значительно видоизменяет наблюдаемое движение, и в свою очередь нзмсненне в движении приводит к изменению ее собственного периода. Таким образом, система приобретает некоторое новое состояние стационарного движения, совершая колебания около эт010 состояния. Это обстоятельство вынуждает нас отказаться от прежнего первого приближения с целью воспользоваться приближением, которое может представлять новое наблюдаемое движение в виде гармонических колебаний. [c.283] Исследуя это новое первое приближение, как это будет сделано в приводимых ниже примерах, мы обнаруживаем, что оно иногда сохраняет общий характер с первоначальным, однако с одним существенным исключением, а именно, что свободные колебания, период которых был равен периоду силы, изменились. Таким образом, заключаем, что если малая возмущающая сила зависит от координат и имеет такой же период, как и свободные колебания системы, то может иметь место эффект исчезновения этого типа свободных колебаний и возникновение некоторого другого типа с отличающимся периодом. [c.283] Материальная точка колеблется на прямой около центра снл, притягивающего на расстоянии х по закону рЧ -f fix . Найдите период малых колебаний. [c.283] Таким образом, колебания материальной точки около центра сил весьма точно описываются выражением (4). Эффект действия возмущающей силы — Рх укорачивает период колебаний на величину, которая зависит от квадрата дуги. [c.284] Силы Рх,. .. суть функции от УИ1, N1,. .., Ма, . .. Обращаясь к уравнениям (7), видим, что отношения коэффициентов М,, N1,. .. отличаются от отношений миноров ц(щ , /12 ( 1). на величины порядка Р/М. Поэтому прн вычислении Р,,. .. можно заменить N1,. . .., воспользовавшись этими отношениями. Таким образом, правые части уравнений (8) являются известными функциями произвольных постоянных М н корпей определяющего уравнения А (б) = 0. [c.286] Величины /, ,. .. обычно представляют собой положительные целые числа. В этом случае порядок величин Р,. .. не меньше чем f- -. .. Отсюда следует, что поправки Х1, Цг,. .. имеют, по крайней мере, порядок /- - д-г. .. —1. [c.286] в степенях, больших чем первая. Тогда влияние указанных возмущающих сил можно учесть в следующем приближении, взяв в качестве первого приближения X-- = где уц—И Мх, КШг,. .. при условии, что эти новые показатели степепи удовлетворяют соотношениям /Цх-г ёЦ2 г = 1 1.. .. [c.286] Предполагая это условие выполненным, видим, что влияние возмущающей силы такого же типа и периода, какие имеют свободные колебания, приводит к уничтожению этого типа колебания в системе и за,мене их некоторым другим типом колебания, которое тем более отклоняется от первоначального тина, чем больп е амплитуда колебания. [c.286] В выражениях для дуг спуска и подъема члены, содержащие хну, весьма малы, и еслн предполагать, что к не слишком мало, то этими членами можно пренебречь ). [c.288] Приближенно имеем 1 — X = 2кп1т, так что этот дополнительный член является весьма малым по сравнению с сохраняемым членом. [c.288] Время колебания от одного крайнего положения до другого есть — t,, т. е. равно я/т. Этот результат не зависит от дуги, так что время колебания остается постоянным в течение движеиия. Однако оно не совпадает в точности со временем колебания в пустоте, а несколько длиннее разность зависит от квадрата малой величины к. (См. а. 321). [c.289] Вернуться к основной статье