ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Условия устойчивости в случае многих степеней свободы Два правила получения условий устойчивости в явном виде. Динамический анализ уравнения п-й степени из "Динамика системы твердых тел Т.2 " 282 следует, что условиями устойчивости являются условия, при которых все веш,ественные корни и пеш,ественные части комплексных корней отрицательны. Чтобы выяснить, обладают ли корни указанным свойством, предложим теперь следу-ЮШ.ИЙ метод. [c.250] Если бы мы исключили Е, то получили бы уравнение относительно Z, корнями которого являются полуразности каждых двух корней данного уравнення. Еслн положить 4Z = С, то нетрудно построить уравнение, корнями которого являются квадраты разностей данного уравнения f (г) = 0. [c.250] Поэтому р всегда имеет знак выражения Х а, а а + Р — знак —Ыа. Следовательно, знаки аир можно определить. Если а, Ь, X имеют один и тот же знак, то вещественные части всех корней отрицательны. [c.251] Х/а == 4ар [(а + р) + р - д 7 + рУ]-Точно так же, как и прежде, р имеет знак выражения Х/а а а + Р — знак —Ыа. Кроме того, р- — имеет знак последнего члена е а уравнения четвертой степени. Это выражение служит для определення того, будет ли Р больше или меньше, чем д. Поэтому, если а, Ь, е и X имеют один и тот же знак, то все вещественные корни и вещественные части комплексных корней отрицательны. [c.251] Предположим, наконец, что все корни являются вещественными. Тогда, если все коэффициенты положительны, то по теореме Декарта известно, что все корни должны быть отрицательными, и все коэффициенты не могут быть положительны.уш, если не все корни являются отрицательными. В этом случае, поскольку X представляет собой произведение сумм корней, взятых по два, выражение Х1а, очевидно, будет положительным. [c.251] Резюмируя отдельные доказанные сейчас результаты, заключаем, что если Хае отличны от нуля, то для того, чтобы ве-щественные корни и вещественные части комплексных корней были отрицательными, необходимо и достаточно, чтобы все коэффициенты уравнения четвертой степени, а также X имели один и тот же знак. [c.251] Сумма двух других корней равна —Ыа, а их произведение равно be iad). Отсюда заключаем, что если X --- О, то вещественные корни и вещественные части комплексных корней будут отрицательными или равными нулю, если все коэффициенты уравнения четвертой степени отличны от нуля и имеют один и тот же знак. [c.252] Еслн все коэффициенты имеют один и тот же знак, то легко видеть, что для устойчивости необходимо, чтобы Ьс — ad было положительно или равно пулю. [c.252] В пределе при г- оо имеем P/Q= tg и0. [c.253] Отметим, что значения О из последовательности (В) разделяются его значениями из последовательности (А). [c.253] Еслн 0 мало и положительно, то P/Q положительно и поэтому меняет знак с + на — для каждого из значений 0 из последовательности (А). Отсюда следует, что еслн п — четное, то будет п перемен знака. [c.253] В последнем случае P/Q положительно, если 0 немного меньше, чем я/2, и отрицательно, если 0 немного больше, чем я/2 однако этот результат не понадобится в дальнейшем. [c.253] Рассматривая функции [у (у), (у),. .., видим на основании теоремы Штурма, что потеря или приобретение перемены знака может произойти только иа одном конце ряда. Далее, последний член ряда представляет собой постоянную и она ие может изменить знак. Поэтому перемены знака могут быть приобретены или потеряны только в результате обращения в нуль функции у (у), стоящей в начале ряда. [c.254] Рассмотрим теперь функции, стоящие в начале ряда fl (у), /а (у).и применим к ним теорему Штурма прн изменении у от +оо до —сх . Вндим, что происходит потеря перемеи знака, еслн первые две функции меняют разные знаки на одинаковые, т. е. еслн отношение /1 (у) к /2 у) изменяет знак с — на + Точно так же перемена знака приобретается, если знак этого отношения изменяется с + на —. Поэтому е равно числу вариаций или перемен знака, теряемых в ряду функций при изменении у от у = +оо Ло у = —оо. [c.254] как было только что доказано, е равно числу вариаций или перемен знака, теряемых при переходе от первого ряда ко второму. [c.254] Таким образом, коэффициенты функции [ у) получаются из коэффициентов функций /1 у) и [ц (у) в результате перекрестного умножения и поэтому могут быть выписаны непосредственно. Коэффициенты функции f (у) получаются из коэффициентов функций /2 (у) и /з (у) посредством аналогичного перекрестного умножения и т. д. Эти последовательные функции можио назвать дополнительными функциями. [c.255] образуюш,ие первый столбец, можно назвать тестовыми функциями. [c.256] Ввиду того, что при построении этих строк нас интересуют только знаки их членов, то можно умножать пли делить члены каждой строки на любую положительную величину. Поэтому часто можно избежать сложных дробей. [c.256] Еслн h — положительное и бесконечно малое число, то дополнительный корень этого уравнения является вещественным, отрицательным и приближенно равным —h. Кроме того, корни двух уравнений, лежащие справа от оси у, являются в пределе одними и теми же. [c.256] Вернуться к основной статье