ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Гладкая и шероховатая поверхности из "Динамика системы твердых тел Т.2 " Отметим, что при выводе этого уравнения не были использованы уравнения (9) и (10), выражающие условие абсолютной шероховатости плоскости. Таким образом, уравнение (I) сгфавед-ливо в случае гладкой, шероховатой и абсолютно шероховатой плоскости. [c.217] Из доказательства видно, что это уравнение по-прежнему имеет место, если тело находится под действием любых дополнительных сил, ЛИПИН действия которых лежат в вертикальной плоскости, проходящей через ось симметрии. [c.218] Предположим, что требуется найти условия качения тела с заданной угловой скоростью п и заданным угло.м а между осью симметрии и вертикалью. Поскольку гена заданы, а р, q, s, т , р могут быть найдены из уравнения поверхности, надо определить р., (Oj, Ыа- и, v vi радиус окружности, описываемой точкой (1 в пространстве. Пз соотнонгений (5) имеем (U2 О, oi = —ц sin а, а из соотношений (9) и (10)—и = О, u — —/ 1] — sin а. Поскольку величина V постоянна, н.1 соотношений (6) и (7) вытекает, что F — О, Г - —uji, а поскольку н величина г постоянна, имеем R = g. [c.218] Присоединяя sth уравпеиия к кине.чатическнм уравнениям (10), можно сразу вывести полученные выше результаты, относящиеся к стационарному вращению. [c.219] Поскольку большое значение (О3 нли п делает невозможным выполненне равенства (10), заключаем, что стационарное движение такого рода может быть получено только в случае малой величины n-PN или большой величииы GN. [c.219] Где штрихи, за исключением случая F, обозначают дифференцирование по времени. [c.219] Последнее слагаемое этого уравнення должно быть равно нулю, поскольку х, у, Z содержат только периодические члены. Это и будет уравнение, определяющее значение х в стационарном движении. [c.220] Когда катящееся тело представляет собой волчок со сферической нижней частью, а опора абсолютно шероховатая, имеют место три первых интеграла, и именно (а), (7) и (6). Соответствующие первые интегралы в случае гладкой опоры будут нолучены и п. 243Ь. [c.221] Знак произведения двух радикалов тот же, что у начального значения Ыц и, поскольку соз пе может обратиться в нуль или бесконечность, этот знак сохраняется в процессе движения. [c.222] Поскольку О должно обратиться в нуль при О = О, имеем L О (условие того, что ось занимает вертикальное положение), — О (условие того, что в этом положении угловая скорость оси симметрии равна пулю). Необходимо также, чтобы N было отрицательны.м. В противном случае 0 будет отрицательны.м. После интегрирования находим, что ось достигнет вертикального положения за бесконечно большое время (см. н. 2021). Определить значения К и /7 можно также, подставляя 0 = О в уравнения (а), (б) и (v) из п. 243. [c.222] Пример 2. Показать, что если опора абсолютно шероховата н радиус сферического основания. много меньше расстояния центра масс от центра О, то трансверсальная компонента силы трення действует в положительном или отрицательном направлении оси ОВ в зависимости от того, соответственно возрастает или убывает угол 0. [c.222] Где N gh г С п МЛ. Таким образом, либо волчок должен стоять вертикально в начальный момент времени, либо в силу начальных условий величина N отрицательна. В последнем случае/г должно быть отрицательным, а —AghAI -. После интегрирования видно, что время достижения вертикального положения оказывается бесконечным. [c.223] Уравнения (1)—(8) и (П) из п. 241 имеют место и в этом случае, а соотношения (9) и (10), которые выражают абсолютную шероховатость опоры, должны быть заменены. Пусть S — скорость проскальзывания в точке касания, ф — угол, который вектор 5 составляет с вертикальной плоскостью GMP. Тогда соотношения (9) и (10) заменяются на соотношения S os ф = и — рщ, S sin ф = у -р г (а sin (3) og — g ui, F = —(li os ф, F = —(i/ sin ф. В рассматриваемом случае можно получить только одии интеграл движения вида (а) из п. 243 ). [c.223] Эти уравнення были составлены в предположении, что тело проскальзывает. Следует помнить, что если в какой-то момент времени скорость проскальзывания S обраи1,ается в нуль, трение перестанет тормозить тело и в течение некоторого времени оно будет катиться так, как если бы опора была абсолютно шероховатой. Обратно, если в новом движении F -р F станет больше / , характер трения изменится опять н тело начнет проскальзывать. [c.223] Вернуться к основной статье