ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Качение и скольжение шара по шероховатой наклонной плоскости из "Динамика системы твердых тел Т.2 " Обратившись к чертежу, объясняющему кинематические формулы Эйлера, легко увидеть, что и т] — косинусы углов, которые диаметр СС составляет с осями Ох, Оу (см. также т. II, п. 15). [c.204] Где g замещает одну из пяти координата, у, I, т], Х- Невозмун енное движение ) получается при х, у, т], равных нулю и х Положив q — х q = у и придавая координатам их значения в невозмущенном движении, находим, что в этом движении X и х равны нулю. [c.205] Эти уравнения и дна кинематических уравнения i О, 2= О являются лн-нейны.ми и могут быть решены обычным способом. Если мы положим — п и исключим сначала X, и затем I, т , то получим два уравнения для определения X, у — те же, что и в решении нз п. 231. [c.205] В рассматриваемом случае нужно вос1юльзоваться уравнениями из п. 230. Примем обозначения этого раздела н будем писать -/ а вместо k . [c.205] Подставляя нужные выражения для 0(, Вд, и F (со,, — п), получаем искомую формулу (1). [c.206] Из кинематических соотношений u oi = —у, d = х6 следует, что Wi и имеют противоположные знаки. Отсюда п силу формулы (I) и также имеют противоположные знаки, если а и Ь — положительные величины н а л/2. 1едовательно, ось вращения шара, которая непременно проходит через точку касания шара и опоры, составляет с вертикалью меньший угол, чем нормаль в точке касания. [c.206] Постоянная интегрирования равна нулю, поскольку х п у содерлат только тригонометрические члены. [c.207] Поскольку X содержит только тригонометрические члены, то S = 0. Полагая в выражении (4) лг = О, получаем для то же самое значение, что и в стационарном движении. Для того чтобы стационарное движение было устойчивым, необходимо н достаточно, чтобы А имело положите тыюе значение. Период колебаний получается равным 2л/1 .4. [c.208] Следует заметить, что это рассуждение неприменимо, если а и, следовательно, Ь — малые величины, ибо некоторые отброшенные члены имеют Ь в знаменателе. [c.208] В этой задаче шероховатая поверхность, по которой происходит качение, представляет собой тор с порождающей окружностью нулевого радиуса. Считая, что шар только катится и не вращается вокруг нормали, для решения достаточно положить /г — О в уравнении (1) п. 234. [c.208] Пусть G -- центр тяжести шара и оси координат GA, GB, G имеют постоянные направления в пространстве первая панра-влена вниз по наклонной плоскости, последняя — перпендикулярна к плоскости. Пусть и, V п W == О — компоненты скорости точки G в названных осях, oj, oj, — компоненты угловой скорости тара. Обозначим через F, F проекции силы трепня со стороны плоскости на оси GA, GB. Пусть k — радиус инерции шара относительно диаметра, а — его радиус. Масса шара равна единице. Пусть а — угол наклона плоскости к горизонту. [c.208] Из уравнений (3) и (4) можно определить финальные значения ы, V, 0)1, (О3. Итак, направление движения и модуль скорости центра тяжести после прекращения скольжения выражаются как функции времени. Оказывается, что обе эти величииы не зависят от трения. [c.209] Это метод нахождения нижней границы для fi совпадает с тем, который применен в гл. IV т. I для аналогичной задачи о качении шара вдоль линии наибольшего наклона плоскости. [c.209] Второе из уравнений (7) показывает, что dO/dt имеет знак, противоположный знаку 0, так что при любых начальных условиях, кроме Оо = я, функция О ( ) стремится к нулю. Получается, что, за исключением случая а = О, величина О будет постоянной, только когда 0о = О, —зт. Итак, направление проскальзывания не постоянно в пространстве, а все время приближается к направлению наибольшего ската. На горизонтальной плоскости а -= О и направление проскальзывания постоянно. [c.210] Последующее движение уже было описано. [c.210] Если п 1, то из соотиошения (8) следует, что S растет, в то время как 9 убывает. Поэтому проскальзывание никогда не прекратится. Из уравнения (10) следует также, что угол 9 обращается в нуль только по истечегши бесконечно большого времени. [c.210] Вернуться к основной статье