ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Малые колебания тяжелого тела вокруг неподвижной точки. Сравнение результатов из "Динамика системы твердых тел Т.2 " Полагая затем = О, убеждаемся, что величина N постоянна во все время движения. [c.185] Если величина X, найденная нз этого уравнения, была бы действительной, то тело совершало бы малые колебания относительно положения, в котором ось 00 вертикальна. Покажем, что когда С — наибольший момент инерции и величина п . столь велика, что выражения ц1 — (С — А) п и д1 — (С — В) и отрицательны, то все значения X действительны. Это же утверждение остается справедливым, еслн точка О будет ниже точки О (/ 0), и ось ОС будет осью наибольшего момента инерции. [c.186] Чтобы обе величины Р имели одии и тот же знак, последний член биквадратного уравнения должен быть положительным, т. е. [c.186] Наконец, чтобы обе величины были положительными, коэффициент перед в биквадратном уравнении должен быть отрицательным, т. е. [c.187] Пусть ф — угол, который плоскость, содержащая ось ОЛ, составляет с плоскостью, содержащей ось ОС и вертикаль 0V. Тогда найдем р -=- —sin О соз ф, q sin 0 sin ф, и, следовательно. [c.187] Из кинематических уравнений Эйлера при очень малом значении 0 следует, что г г— и/- -а —ф, где а — некоторая постоянная, влияющая па положение плоскости, от которой измеряется угол 1 з. [c.187] Ввиду того, что A, = /г — x, выражения, найденные здесь для р, q, немедленно следуют из выражений для т], приведенных в т. I. [c.188] Решение рассматриваемой задачи, полученное совершенно другим способом, было дано Лагранжем в его Аналитической механике ). Его результаты ие внолне согласуются с приведенными в этом пункте. Лагранж составляет квадратное уравнение, соответствующее уравнению (3), и определяет два неравенства между моментами ииерции и произведениями инерции относительно осей, проходящих через неподвижную точку О, при выполнении которых корни будут действительными и положительными. Но, используя известные свойства эллипсоида инерции, можно показать, что эти условия всегда выполняются. [c.189] Обозначим через 0L, ОМ, ON общие сопряженные диаметры рассматриваемых поверхностей. Так как в цилиндре диаметральная плоскость, сопряженная к каждому конечному радиусу-вектору, проходит через его ось, то плоскости LOM, LON, будучи диаметральными плоскостями, сопряженными диаметрам ON, ОМ, должны пересекать одна другую по оси цилиндра. Таким образом, один сопряженный диаметр 0L должен быть осью цилиндра, и сопряженные диаметры ОМ, ON должны лежать на диаметральной плоскости, сопряженной к диаметру 0L эллипсоида инерцин. Из результатов п. 131 вытекает, что величина обратно пропорциональна квадратам длнн диаметров цилиндра. Следовательно, диаметру 0L должна соответствовать величина = 0. [c.190] Когда корни квадратного уравнення (3) равны, то k — О и А (В — С) = С (А — В) Р. Поэтому цилиндр будет подобен одному из двух прямых круговых цилиндров (и одинаково с ним расположен), которые являются огибающими эллипсоида ннерцни. Следовательно, общими сопряженными диаметрами будут средняя ось инерции, ось цилиндра и сопряженный им диаметр, лежащий в плоскости Л ОС. [c.190] Но в правой части этого уравнения такого члена не будет. Следовательно, должны соблюдаться следующие условия либо А В, либо fj = О, либо = 0. Движение в случае А = В уже рассматривалось в п. 205. Подставляя теперь решение в последнее нз уравнений (2) и приравнивая нулю коэффициенты при sin 2 (Xi+ f), находим PiGi — F-iQi = 0. [c.191] Из этих уравнений следует, что все величины Fi, Gj, Pj, Qi равны нулю и, таким образом, все величины (Oi, , р, q постоянны, как и Ыд и г. [c.191] Следовательно, если два, главных момента инерции не равны, то для осуществления перманентного вращения необходимо, чтобы ось вращения была вертикальной и центр тяжести с координатами (к, k, I) лежал на прямой, описываемой уравнением (3). Эту прямую можно построить следующим образом. [c.191] Отложим вдоль вертикали отрезок 0V = /со и проведем через точку V плоскость, перпендикулярную к 0V. Эта плоскость в точке Q будет касаться эллипсоида, софокусного гирационному эллипсоиду. Центр тяжести тела должен лежать на нормали к этому софокусному эллипсоиду в точке Q ). [c.191] Вернуться к основной статье