ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Обратная задача. Граничные углы и начальные условия Интегрируемый случай из "Динамика системы твердых тел Т.2 " Пример 2. Стационарное движение, в окрестности которого рассматривается колебание волчка, будет медленной прецессией, скорость которой определяется по формуле х = gh/( n). Доказать, что за короткий промежуток времеии, равный 2яА (Сп), ось волчка описывает почти прямой круговой конус вокруг положения, которое она имела бы в случае регулярной прецессии. [c.171] Круговая траектория точки Р в пространстве представлена иа рис. 30, соответствующем случаю I . а. При / а граничные окружности лежат по разные стороны плоскости UM и могут быть бесконечно близки только тогда, когда ось волчка вертикальна. [c.171] Траектория точки Р похожа на изображенную на рис. 32, только точки касания с каждой из окружностей находятся ближе одна к другой. Коордннаты точки Q следующие VL — —с, LQ — / sin а (см. рис. 27). Радиус кривизны в точке Q порождающей кривой равен / sin а/(1Ср ) и настолько мал, что нормаль к поверхности, проведенная через точку Q, пересекает эту поверхность близко к точке Q. Точка Р проходит попеременно ниже и выше уровня точки Q. [c.171] Пример 3. Гироскои состоит из полусферической оболочки с внешней осью, проходящей через ее вершину. На оси находится груз. Двигая груз вверх и вниз, можно соответственно поднимать или опускать центр тяжести гироскопа. Груз находится в определенном положении, и гироскоп, неподвижной точкой которого служит его вершина, приводится в быстрое вращение с помощью нити, намотанной на ось. Полученное движение оси вокруг вертикали будет прецессионным. Определить, в каком направлении нужно перемещать груз, для того чтобы изменить знак скорости прецессии. [c.171] Покажем, что существуют действительные значения СО1 н (О2. Для этого поместим в начальный момент времени ось в одно из граничных положений, опре-лясмых углами Оо, 61 и, используя формулы для а, Ь (п. 201), найдем, что О, а Ш] — действительная величина. [c.172] Следоват тьно, прн начальных условиях, взятых из обоих множеств, dQ/dl имеет одну и ту же величину, если задана величина os 6. Поэтому для начальных условий, взятых из обоих множеств, движение оси в вертикальной плоскости идентично. Но так как величина dil ldt (п. 202) не одинакова для двух значений р, движение оси волчка вокруг вертикали тоже не одинаково. [c.172] Эта формула вытекает нз последней формулы системы ( ) п. 206. [c.172] Для того чтобы а н Ь были действительными, необходимо, чтобы 2р а + Р, 0. Этот результат был уже получен в п. 202а он также следует из формулы для р, данной в п. 206. Величина у, найденная таким образом, бо.тыне единицы. [c.172] В этом случае а= Ь, к кубическая парабола вырождается в обычную, которая касается вертикали (см. также случай I а, п. 204с). Если корень не равен нулю, этн формулы дают два множества начальных условий, которые приводят к одним и тем же значениям а, Р и р, но разным значениям у. Так как 0/ является функцией этих констант и, следовательно, косинусов а, р граничных углов, движение оси волчка в вертикальной плоскости различно в этих двух случаях. Движение оси волчка вокруг вертикали тоже в общем случае различно. [c.172] Обычно предполагается, что полчок поднимается из своего наинизшего положения (определенного условием = а) и что дальнейшее изменение i и гр происходит в положительном направлении. Тогда корни считаются положительными и изменяют свой знак после того, как они обратились в нуль. [c.173] Волчок движется вверх нз положения = а (при i = 0) и достигает вертикали через бесконечно большой промежуток временн. Предшествующее этому опускание волчка определяется при отрицательных значениях t. [c.173] Уравнения (2) и (3) показывают, что величины и 11) непрерывно возрастают по мере увеличения промежутка времеии, прошедшего с начала движения. Ось волчка вычерчивает на единичной сфере спираль, стягивающуюся к точке пересечения сферы с вертикалью по мере подъема осн. Так как величина не может быть больше единицы, то предельное значение г ) — т( равно я/4. Отсюда следует, что когда г]) увеличивается до 2я, t возрастает почти на 2я/от. Форма спирали показана на рнс. 36. [c.173] Другое множество приводит к соотношению 7 ah и, следовательно, нам не подходит, за исключением случая, когда а = /. Из приведенных выше соотиошений видно, что в этом случае 7 = 1 и либо а= 1, либо Р = 1. Соответ-ствуюш,ее движение уже было изучено в п. 207а. [c.174] Так как 7 1 и а 1, видно, что р 0 отсюда также следует, что Р 1 п Р а. Ось волчка колеблется между предельными углами, определяемыми из уравнений = а и = р. которые остаются произвольными величинами. [c.175] Вернуться к основной статье