ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Поверхность третьего порядка. Анализ движения центра качания в трех случаях из "Динамика системы твердых тел Т.2 " Если требуется найти время перемещения оси из одного крайнего положения в другое, то пределы интегрирования будут ф = О, ф = л/2. [c.162] Для получения этого результата надо найти V, как это делается в п. 206, и разложить соответствующий интеграл в ряд по степеням ft . Предполагается, что величина р существенно отлична от единицы. [c.162] Если обозначить PN = то, дифференцируя, видим, 4To (tg p)/ i — положительная величина, когда с положительно. Следовательно, tg р возрастает по мере снижения точки Р. Если с отрицательно, то tg р убывает по мере снижения точки Р до уровня i - —Зс, проходящего ннже уровня нулевой скорости, а затем начинает возрастать. [c.163] Кривая (3) принимает одну из трех форм в зависимости от того, положительна, отрицательна или равна нулю величина с = = Ь — о.. Эти формы изображены штриховыми линиями на рис. 26—28 (стр. 164, см. также п. 200). Точка О, в которой тело закреплено, расположена под точками I7 и V, что обычно наблюдается в волчках, но она может также находиться между точками I7 и V или над ними. [c.165] Рассмотрим части плоскости или пространства, разделяемые кривой (3) или соответствующей поверхностью третьего порядка. Точка Р находится в положительном или отрицательном полупространстве в соответствии с тем, будет положительным или отрицательным значение dQldif после подстановки в формулу (2) координат этой точки. Так как pig или n l(W) — положительная величина, то (dQldt) отрицательно при у = 0. Следовательно, положительное полупространство более удалено от вертикали OUV. [c.165] Начальные условия движения обычно определяются величинами 0, п, oj, U2. Л1ы можем, однако, заменить их четырьмя постоянными О, р, а, Ь, если только величины щ, определенные через них, получаются действительными. Так как (Ох = —sin О a ld ), то величина oi, определяемая нз соотношений (2), действительна. Из соотношения (2) также Сучедует, что и (Oj = dQldt — тоже действительная величина, если точка Р в начальный момент находится в положительном полупространстве, отделяемом поверхностью (3) (эта поверхность становится известной, когда определены величины с н р). [c.165] Сфера с центром в точке О радиуса I пересекает поверхность третьего порядка по двум вещественным горизонтальным окружностям. Так как точка Р непрерывно движется от одной окружности до другой, их можно называть граничными окружностями. Ввиду того что подходят только два корня кубического уравнения (п. 202), то граничные окружности будут единственными действительными линиями пересечения поверхности и сферы. [c.165] Если эта сфера касается рассматриваемой поверхности, то величина равна нулю в двух последовательных точках, и поэтому сРв/Ш = 0. Короче, еР 1с11 обращается в нуль, когда ось ОР волчка становится перпендикулярной к поверхности в точке Р. Если ось ОР волчка в начальный момент направлена по нормали к поверхности, то две граничные окружности совпадают, и ось ОР будет вращаться вокруг вертикали, образуя с ней постоянный угол. Этот вид движения, как обычно, называют прецессией (см. п. 202а). [c.166] На рис. 29—31 в самом общем виде показан геометрический смысл полученных результатов. Траектория точки Р предполагается видимой наблюдателю, находящемуся над полчком на вертикали OUVZ. Верхняя граница траектории представлена на рисунке внутренней окружностью. Ясно, что истинная траектория будет отличаться от изображенной на рисунках тогда, когда радиусы граничных окружностей значительно отличаются один от другого либо когда кривая имеет точки возврата. Величина tg р больше на ннжней границе, чем на верхней (п. 203), хотя это в дальнейшем не всегда будет показано на рисунках. [c.166] Описывает серии петель, которые могут пересекаться. Когда ось ОР ие отклоняется далеко от вертикали, уравнение траектории имеет вид 0= О,, sin т 1з, где т .= (р— 1)/р (см. п. 202h). На рис. 31 траектория изображена в случае, когда р велико (для того чтобы отделить одну петлю от другой). [c.167] Во втором случае, если центр тяжести тела расположен иад горизонтальной плоскостью, проходящей через неподвижную точку О, то os а 0. В этом случае угловая скорость п волчка должна быть достаточно велика, чтобы сделать подкоренное выражение положительным, т. е. ighA os а/С или (в обозначениях п, 202) /7 osa. [c.169] Если перед кор/1ем в формуле (6) взят знак плюс и п очень велико, то с боль-Hjoil степенью точности ц — Сп/(А osa), где А hi (см. п. 200). Таким образом, скорость прецессии ц и угловая скорость Wi — большие величины. [c.169] Пример. Доказать, что два возможных стационарных движения соответствуют двум формам рассмотренной поверхности третьего порядка, отличающимся знаком с большему значению х os а отвечает случай с 0, н меньшему значению — случай с 0. [c.169] Вернуться к основной статье