ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Подъем и опускание волчка. Движение волчка на гладкой плоскости. Учет сопротивления воздуха. Устойчивость волчка из "Динамика системы твердых тел Т.2 " Таким образо.и, абсолютная скорость точки Р зависит от расстояния этой точки до горизонтальной плоскости, проходящей через точку V. Проекция же скорости точки Р на перпендикуляр к плоскости ZOP пропорциональна тангенсу угла, который прямая PU составляет с горизонтальной плоскостью. [c.155] Из этого следует, что когда точка Р находится ниже горизонтальной плоскости, проходящей через точку U, плоскость POV вращается вокруг вертикали в том же направлении, в котором и тело вращается вокруг своей оси, т. е. в соответствии с обычным правилом. При этом 0V и ОР — положительные направления осей вращения. Когда точка Р находится над горизонтальной плоскостью, проведенной через точку U, плоскость POV поворачивается вокруг вертикали в противоположном направлении. [c.155] Если точка Р находится ниже обеих горизонтальных плоскостей, проходящих через точки О н U, то эти выводы также остаются справедливыми. Однако еслн точка закрепления волчка находится выше его центра тяжести, то ось будет казаться вращающейся вокруг вертикали в направлении, противоположном вращению волчка. [c.155] Из уравнения (5) ясно, что изображающая пючка Р (см. п. 128) в течение всего времени движения должна оставаться ниэюе горизонтальной плоскости, проходящей через точку V. Эту плоскость можно назвать плоскостью или уровнем нулевой скорости. Горизонтальную плоскость, проходящую через точку U, можио назвать плоскостью или уровнем нулевой трансверсальной скорости. [c.155] Пример 1. Пусть (О — абсолютная угловая скорость тела, t — скорость точки Р. Показать, что (о = /г + (vllf. [c.156] Пример 2. Показать, что косинус угла наклона мгновенной оси вращения к вертикали равен (Е + (А — С) п os 0 M(o. [c.156] Из первого уравнения следует, что 0 может обратиться в нуль только тогда, когда а = I. В любом другом случае значение правой части уравнения при 0 = 0 становится бесконечно большим. [c.156] Это можно доказать иначе. Действительно, all, или, что то же самое, Е Сп) равно отношению проекции момента количеств движения тела на вертикаль к проекции этого момента на ось тела. Поэтому ясно, что ось волчка не может стать вертикальной, кроме случая, когда это отношение равно единице. [c.157] Предположим, что тело приведено в движение так, что его ось в начальный момент наклонена к вертикали под углом i. Затем ось начнет отклоняться от вертикали или приближаться к ней в зависимости от знака начальной величины dQldt или og если же dQ/dt равно нулю, то от знака P0/di . [c.157] Это кубическое уравнение относительно os 0. Исследуем его корни. Когда os 0 = —1, правая часть уравнения отрицательна-, когда os 0 = os i (так как начальное значение (dQldt) положительно), правая часть уравнения или равна нулю, или положительна. Следовательно, уравнение имеет один действительный корень между os 0 = -—1 и os 0 = os i. Аналогично, когда os 0 = +1, правая часть уравнения отрицательна. Она положительна, когда os 0 = сю. Стало быть, имеется еще один действительный корень между os 0 = os i и os 0 = 1, Третий же корень превосходит единицу, поэтому он нас не интересует. [c.157] Точка Р колеблется между двумя положениями, для которых гармоническое среднее РМ и PR равно —2ММ. На рис. 24 точка V изображена над точкой U, и в этом случае одно из предельных положений точки Р находится над прямой им, а другое — под параболой. [c.157] В этом случае корни уравнения (8) будут os 9 — os i и os 9 = = p — 1/1 — 2р os I-I- p , где p, как и раньше, определяется по формуле ri l(2gh ) = 2р1. Так как р — величина положи-тельная, то значения сов 9 = р + V I — 2р соз i + р всегда больше единицы. Действительно, при os / 1 величина os 0 может лишь уменьшиться, но и тогда его значение будет не меньше единицы. Следовательно, ось тела будет колебаться между только что найденными значениями 0. [c.158] Обычно значение угловой скорости вращения п вокруг оси тела весьма велико. В этом случае величина р тоже очень велика, и если пренебречь квадратом 1/р, то os 9 будет изменяться между пределами os i и os i — (sin i)l(2p). Отсюда следует, что колебание по углу 0 оси тела будет уменьшаться по мере возрастания угловой скорости вращения п. Если же начальная величина i равна нулю, то два граничных значения os 0 одинаковы. Таким образом, ось тела всегда остается вертикальной. [c.158] Пример 1. Показать, что в обычном волчке в только что описанном случае наименьший угол наклона оси тела к вертикали равен i. [c.158] Поделим равенство (8) на положительную величину (а — I os 0)2. Заметим, что правая часть этого выражения отрицательна, когда os 0 = 1, и положительна, когда / os в = а. Таким образом, предельные значения os 0 разграничиваются величиной os 0= а// (см. также п. 204а). [c.158] Доказать, что ось волчка не может стать вертикальной, за исключением случая, когда проекции начального момента количеств движения на вертикаль и на ось тела равны, т. е. когда Е = Сп. [c.159] Если 6 а, то ось волчка, которая вращается вокруг вертикали всегда в одном направлении (см. п. 201), займет вертикальное положение. Затем, так как dQ/dt не равно нулю, когда os 0 = = 1 (за исключением случая Ь = а), ось волчка опустится и достигнет положения, определяемого другим граничным значением os 0, являющимся единственно пригодным корнем квадратного уравнения. [c.159] Если Ь а, то при положительном знаке перед корнем os 9 1. Для доказательства этого заметим, что значение os 0 будет наименьшим, когда с = О и равно 2р — 1 или 1 в зависимости от того, будет ли р больше или меньше единицы. В любом случае os 0 1. Следовательно, при Ь а перед корнем должен стоять знак минус. [c.160] Вернуться к основной статье