ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Применение сферической тригонометрии для изучения конусов, описываемых неизменяемой прямой и мгновенной осью вращения из "Динамика системы твердых тел Т.2 " Если начальная ось вращения будет средней осью ОВ, то все соседние полодии обращены выпуклостью к точке В. Поэтому, если возмущение ие приводит к смещению оси вращения вдоль разделяющей полодии, то движение должно быть неустойчивым. Если смещение происходит вдоль разделяющей полодии, то ось вращения может иметь тенденцию к возврату в свое начальное положение. Этот случай будет рассмотрен ниже, и для этого особого смещения можно сказать, что движение устойчиво. [c.121] Неизменность в пространстве направления земной оси также вызвана вращением Земли относительно этой оси. В винтовках пуле сообщается быстрое вращение относительно оси, по направлению которой эта пуля летит. Из предыдущего следует, что положение оси вращения пули во все время движения не изменяется. Ввиду того что сопротивление воздуха действует известным образом на нулю, можно подсчитать его эффект и сделать на него поправку. [c.122] Конусы, описанные неизменяемой прямой и мгновенной осью вращения, пересекают сферу по сфероконическим кривым. Свойства таких конусов излагаются обычно в курсах стереометрии недостаточно полно. Поэтому ниже рассмотрены некоторые полезные свойства конусов. Чтобы не прерывать последовательности изложения, эти сведения помещены в конце главы. [c.123] Эти конусы переходят в две плоскости, еслн начальные значения удовлетворяют соотношению ( = ВТ. [c.124] Пример. Показать, что круговые сечения неизменяемого конуса парал лельны круговым сеченням гирационного эллипсоида и перпендикулярны к асимп тотам фокального конического сечения эллипсоида инерции. [c.124] Легко видеть, что направляющие косинусы эксцентрической прямой раднуса-вектора, лежа1цего на мгновенной оси вращения, будут AIT, щУВ Т, Шз1/ С/7. Эти выражения являются также направляющими косинусами эксцентрической прямой радиуса-вектора гирационного эллипсоида, лежащего иа неизменяемой прямой. Поэтому такую прямую можно назвать просто эксцентрической и коиус, описанный ею в теле, —эксцентрическим конусом. [c.124] Этот конус имеет те же круговые сечеиия, что и эллипсоид ииерции, и пере секает этот эллипсоид по сфероконической кривой. [c.124] Пример 2. Показать, что полярная плоскость мгновенной оси относительно эксцентрического конуса касается неизменяемого конуса вдоль соответствующего положения неизменяемой прямой. Таким образом, неизменяемый конус и коиус мгновенных вращений являются взаимными относительно эксцентрического конуса. [c.124] Если положить 2—0 в уравнении любого из этих трех конусов, то значение у х будет рупно тангенсу угла между радиусом-вектором точки пересечения сфероконической кривой с плоскостью ху и осью X. Аналогично, полагая у —О, найдем соответствующую прямую в плоскости хг. [c.125] Первый из полученных двух рядов равенств позволяет определить эти полуоси в плоскости АОВ, второй — в плоскости АОС. Если ВТ, то в первом ряду появляется мнимое число. В этом случае сфероконическая кривая не пересекает плоскость АОВ. Поэтому вогнутость сфероконических кривых направлена к концам осей ОА или ОС, т. е. к концам осей наибольп его или наименьшего момента инерции в зависимости от того, будет больше нли меньше ВТ. Так как igb/igb = IA, то неизменяемый коцус и ось наибольшего момента инерции всегда находятся или внутри конуса мгновенных вращений, или вне его. [c.125] Пример 2. Показать, что сфера радиусом (GV(Ai(7 )) пересечет гнрацион-ный эллипсоид по той же кривой, что и неизменяемый конус, а сфера радиусом (KTIG ) пересечет эллипсоид инерции по той же кривой, что и эксцентрический конус. [c.125] Так как неизменяемая прямая 01 неподвижна в пространстве, а тело поворачивается вокруг прямой 01, как вокруг мгнопеи-ной оси, то очевидно, что направление движения прямой 0L в теле перпендикулярно к плоскости IOL. Следовательно, па сфере с центром в точке О дуга IL перпендикулярна к сфероконической кривой, описываемой неизменяемой прямой. Это простое условие служит для связи между движениями неизменяемой прямой н мгновенной оси вдоль их сфероконических кривых. [c.126] Предполагая, что все Wi, 2, (О3 — положительные величины, получим, что прямая 01 проходит через первый октант, а тело поворачивается вокруг 01 в направлепии АВС (см. рис. 17). Так как прямая 0L неподвижна в пространстве, то она движется в теле в направлении, противоположном его вращению. Тогда, так как точки L п А лежат по одну сторону сфероконической кривой JJ (как в случае, когда Л S С), точка L движется в теле вдоль своей сфероконической кривой в направлении КК. Если же точки L и Л лежат по разные стороны сфероконической кривой JJ, то точка L движется в противоположном направлении (см. также п. 150). [c.126] Поэтому отношение, стоящее в левой части последнего равенства, постоянно во все время движения. [c.127] Эта теорема дает возможность выяснить зависимость между движениями рассматриваемых трех точек. [c.128] Вернуться к основной статье