ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Движение тела под действием ударной пары. Эффект из "Динамика системы твердых тел Т.2 " Интегрирование уравнения (6) приводит к эллиптическим интегралам ). Интегрирование может быть выполнено в элементарных функциях в двух случаях когда А = Б п G ТВ, а значение В находится между значениями А н С. Оба этн случая будут рассмотрены ниже. [c.104] Таким же образом можно показать, что величина T—G- отрицательна. Следовательно, значение величины G - /T может быть произвольным, лежащим между наибольшим и наименьшим моментами инерции (см. ii. 143). [c.104] Из уравнений (5) следует, что во время движения величина (о должна находиться между величиной и большей из величин Xj и Xj. [c.104] Соотношения (2)—(6) содержат шесть новых постоянных, а именно а, Ь, с, X, k их. Эти постоянные можио выразить через А, В, С н через произвольные начальные условия для (1)1, (Uj, (О3. Решение (3)—(5), если оно действительно, будет общим решением уравнений Эйлера. [c.105] После подстановки полученных соотношений в формулы (3)—(5) эллиптические функции в этих формулах вырождаются в гиперболические. В случае В = С, = О и F = гр, т. е. ат F = F. Если эти соотношения снова подставить в формулы (3)—(5), то эллиптические функции в этих выражениях вырождаются в тригонометрические. [c.106] Геометрический смысл этих решений будет выяснен несколько позже. [c.106] Эти соотногпения были получены выц1е интегрированием уравнений Эйлера. Однако эти соотношения весьма просто вытекают из теоремы площадей и теоремы живых сил. [c.106] Предположим, что тело приведено в движение под действием ударной пары сил с мо.ментом G. Тогда из гл. VI т. I следует, что во все время движения проекция кинетического момента на произвольную прямую, неподвижную в пространстве и проходящую через неподвижную точку О, постоянна и равна проекции момента С ударной пары на эту прямую. [c.106] Складывая квадраты этих величин, придем к соотношению (1). [c.106] Во все время движения кинетический момент тела равен моменту G пары. Отсюда вытекает, что если в произвольный момент времени к телу приложить ударную пару, равную и противоположно направленную паре с моментом 6, тело будет приведено в состояние покоя. [c.106] Из этих уравнений следует, что если тело вращается вокруг оси с направляющими косинусами /, т, п, а за координатные оси выбраны главные оси инерции для неподвижной точки, то направляющие косинусы неизменяемой прямой пропорциональны Л/, Вт, Сп. Если координатные оси не будут главными осями инерции тела для неподвижной точки, то направляющие косинусы неизменяемой прямой будут па основании п. 10 пропорциональны величинам А1 Рт—Еп, Вт—Оп—Р1, Сп—Е1 От, где Л,. .., Р обозначают моменты и произведения инерции ). [c.107] Полученных уравнений (1)—(3) достаточно для определения в пространстве траектории каждой точки тела, но не положения ее на этой траектории в произвольный момент времени. [c.107] По это выражение в силу уравнений Эйлера равно нулю. Аналогично доказывается, что проекции абсолютной скорости точки Р на другие оси тоже равны нулю. [c.107] Эта теорема принадлежит Лагранжу. [c.108] Поэтому эллипсоид инерции движется таким образом, что его центр остается неподвижным, а сам он все время касается неподвижной плоскости. Точка касания лежит на оси мгновенного вращения и и.меет скорость, равную пулю. Следовательно, можно получить движение тела, заставляя эллипсоид инерции, центр которого неподвижен, катиться без проскальзывания по неподвижной плоскости. [c.109] Так как перпендикуляр р по величине должен быть заключен между большой и малой полуосями эллипсоида инерции, то величина О /Г должна находиться между наибольшим и наименьшим моментами инерцин тела (см. п. 138). [c.109] Указанный выше цилиндр касается неизменяемой плоскости по образующей. Пусть прямая О/ пересекает образующую в точке /. Разложим угловую скорость, направленную вдоль прямой 01 на две составляющие, одна из которых направлена по образующей (и не приводит ее в движение), а другая перпендикулярна к неизменяемой плоскости. Ясно, что точка / неподвижна, а все остальные точки образующей скользят по неизменяемой плоскости. Ось цилиндра описывает плоскость, параллельную неизменяемой плоскости. [c.109] Пример 2. Доказать, что во все время движения пло1цадь сечения эллипсоида ннерцни плоскостью, проходящей через неподвижную ючку и параллельной неизменяемой плоскости, постоянна. [c.109] Наоборот, можно выястггь условия, которым должны удовлетворять приложенные силы, чтобы во все время движения была справедлива одна нз теорем Пуансо. Предположим, что действующие на тело виешиие силы приводятся к паре, величина момента которой равиа Q, а его составляющие по осям коордннат суть L, М, N. [c.109] Вернуться к основной статье