ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Устойчивость и колебания конусов в более высоких приближениях из "Динамика системы твёрдых тел Т.1 " Рассмотрим кривую, описываемую этим уравнением. В этом случае О = = —I. йр1(1 , Н — Хр (см. рис. 60 в начале п. 495). Поскольку к = О, условие таутохронности принимает более простой вид т р = йР1й р — хР. Подставляя вместо Р его значение О = цН, получаем требуемый результат. [c.443] Для выяснения вида кривых р = Ср обратим прежде всего внимание на то, что в уравнении р/р= 1 —aV(a+ 2Ь) , отвечающем эпициклоиде, постоянные ая Ь равны соответственно радиусам неподвижного и катящегося круга, а в уравнении для гипоциклоиды постоянная Ь отрицательна. [c.443] Если изобразить кривую, для которой I — ордината, а 6 — абсцисса, то сразу заметим, что эта кривая имеет две асимптоты, задаваемые уравнениями = 1 и 6 = —а/2. Если Ь возрастает от —оо до —а, то I изменяется от 1 до 0 если Ь лежит в интервале от —а до О, то отрицательно и обращается в —оо при Ь = —а/2 когда же Ь возрастает от О до оо, то I изменяется от О до 1. Таким образом, I может принимать произвольные отрицательные и положительные значения, меньшие единицы. [c.443] Поэтому можио выразить полярные координаты г, 0 как функции вспомогательного угла 1]). Вычерчивая кривые, приходим к двум разновидностям спиралей, зависящих от выбора верхнего или нижнего знака, а также к логарифмической спирали, угол Р которой удовлетворяет уравйению 81п Р = 1/г. [c.443] Из приведенного выражения для i выводим, что х — а = irrfilX. Следовательно, величина nfi/X положительна или отрицательна, т. е. центральная сила является отталкивающей или притягивающей, в зависимости от того, какое из неравенств х а или х а имеет место. Поскольку i = 1, в первом случае должно выполняться неравенство х trfi/X. [c.444] имеем следующие случаи 1) Сила является притягивающей. Если —1, то кривая представляет собой гипоциклоиду если —1 гг к О, то кривая есть спираль первого типа или логарифмическая спираль в зависимости от положения точки, в которой движение должно заканчиваться. 2) Сила является отталкивающей, т.е. т 1Х 0. Кривая представляет собой эпициклоиду или гипоциклоиду, если x2 mV i, оо, и спираль второго типа, если О С х . [c.444] Так как GI — радиус-вектор верхней кривой относительно точки G, которая неподвижна огиосительно эгой кривой, а я/2 — /г — угол, образуемый указанным радиусом-вектором с касательной в точ ке /, то первое из приведенных вспомогательных уравнений очевидно. Для вывода второго уравнения заметим, что точка С является центром кривизны, так что расстояние G и радиус кривизны представляют собой постоянные величины, если перемещение ds точки / вдоль дуги очень мало. [c.445] Если в этом ряде первый отличный от нуля член имеет нечетную степень и коэффициент при этой степени положительный, то очевидно, что прямая IG будет отклоняться от вертикали в ту же сторону, что и само тело. Поэтому равновесие неустойчиво. Если указанный коэффициент будет отрицательным, то равновесие устойчиво. С другой стороны, если ряд начинается с члена четной степени, то он не изменяет знака при изменении знака величины s поэтому равновесие устойчиво для перемещений тела в одну сторону от положения равновесия и неустойчиво для перемещений в противоположную сторону ). [c.445] Первый коэффициент дается третьим из вспомогательных уравнений. Второй коэффициент находится в результате дифференцирования этого вспомогательного уравнения и подстановки значений dntds и dr/ds из первых двух вспомогательных уравнений. Третий коэффициент можно найти в результате повторения этой процедуры. Таким образом, momiio вычислить любой требуемый коэффициент. [c.445] Если ЭТО выражение отлично от нуля, то равновесие будет устойчиво для отклонений тела по одну сторону от положения равновесия и неустойчиво для отклонений тела в другую сторону. [c.446] Если также О, то продифференцируем соотношение (1) еще раз. [c.446] Равновесие устойчиво или неустойчиво в зависимости от того, будет ли это выражение отрицательным или положительным. [c.446] Если нормальное сечение представляет собой окружность или прямую, то эти выражения значительно упрощаются. [c.446] Пример 2. Если выпуклая сферическая поверхность находится в положении равновесия на верхней части неподвижной выпуклой сферической поверхности, то это равновесие заведомо неустойчиво. Однако если вогнутость нижней поверхности направлена вверх, то равновесие будет устойчиво или неустойчиво в зависимости от того, будет ли ее радиус больше или меньше удвоенного радиуса верхней поверхности, и это равновесие будет заведомо нейтральным, если радиус нижней поверхности равен удвоенному радиусу верхней поверхности. [c.446] В этом примере предполагается такое распределение масс подвижной поверхности, при котором ее центр тяжести лежит на такой высоте над точкой опоры, что равновесие является нейтральным в первом приближении. Действительно, пусть радиус нижней поверхности вдвое больше радиуса подвижной поверхности и центр тяжести последней в положении равновесия лежит на самой этой поверхности, т. е. на расстоянии от точки опоры, равном удвоенному радиусу подвижной поверхности. В этом случае при качении внутренней сферы траекторией ее центра тяжести будет горизонтальный отрезок прямой, так что равновесие является строго нейтральным. Центр тяжести будет лежать вне или внутри верхней поверхности в зависимости от того, будет ли радиус нижней поверхности меньше или больше удвоенного радиуса подвижной поверхности. Если же нижняя поверхность является плоскостью, то центр тяжести совпадает с геометрическим центром подвижной поверхности. В этом последнем случае положение равновесия также является заведомо нейтральным. [c.446] Метод получения последовательных приближений тот же самый, что и в п, 502. Разложим на основе теоремы Тейлора каждый коэффициент уравнения в ряд по степеням переменной 9, которая выбрана так, что в положении равновесия 0=0. Для этого потребуются значения последовательных производных от этих коэффициентов до некоторого необходимого порядка, выраженные через начальные значения величин ф, n и г. Значения первых производных определяются вспомогательными уравнениями п. 501. Для нахождения других производных следует продифференцировать эти вспомогательные уравнения столько раз, пока не получим требуемого числа искомых производных. [c.447] Колебания конусов в более высоких приближениях. Вывести общ е уравнение движения тяжелого конуса при его качении по абсолютно шероховатой поверхности неподвижного конуса. Будем придерживаться той же самой последовательности рассуждений и использовать те же обозначения, что и в п. 483. Однако здесь имеется одно отличие. Если подвижный конус не находится в положении равновесия, то его центр тяжести не лежит в вертикальной плоскости 1570/. [c.448] Как и выше, обозначим дуги 10 = г, /157 = г, а углы О/С = п, 157/С = ф. [c.448] Вывод этих уравнений предоставляем читателю. Их можно получить на основе рассуждении, которые были приведены при исследовании задачи о колебании цилиндра, с теми лишь изменениями, которые необходимо внести при замене плоских треугольников сферическими. [c.449] Вернуться к основной статье