ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Большие таутохронные движения из "Динамика системы твёрдых тел Т.1 " Обозначим через х и g координаты двух систем, начинающих движение без начальной скорости из двух различных точек, и пусть в начальный момент х а, I = ka. Легко видеть, что дифференциальное уравнение одной системы преобразуется в соответствующее уравнение для второй системы с помощью замены g = kx. Поэтому, если движение одной системы описывается уравнением X = Ф (/, А, В), то движение другой системы будег описываться уравнением I кФ t. А, В ). Начальные условия для определения произвольных постоянных А, В и Л, В совпадают и имеют вид Ф = а и dO dt = О при / = 0. Поскольку каждой отдельной совокупностью начальных условий определяется только одно движение, то имеем Л = Л и Б = Б. Во все время движения g = kx, и поэтому X и обращаются в нуль одновременно. Отсюда следует, что движения обеих систем подобны, а время движения одинаково. [c.436] Этот результат также можно получить в результате интегрирования дифференциального уравнения. Если положим рх = = dx/dt, то после исключения х обнаружим, что переменные р и / разделяются, и р будет функцией от t В. Поэтому после непосредственного интегрирования находим х = ЛФ (t - -В). При t = = О, имеем dx/dt = О, т. е. Ф (В) = 0. Таким образом, В известно и X обращается в нуль, когда Ф (г -[- fi) = О, независимо от значения постоянной Л. [c.436] Необходимо отметить, что если выражение для силы представляет собой однородную функцию от скорости и координаты л , то движение является тауто-хронным только в определенном смысле. Может оказаться, что система достигает положения, определяемого значением л = О, только за бесконечное время или же время достижения указанного положения может быть комплексным. В самом деле, предположим, что правая часть уравнения имеет вид т х, где — положительная постоянная. Тогда система, начиная перемещаться из состояния покоя, движется все время в одну сторону от положения х = 0. Значение х, очевидно, представляется экспоненциальной функцией t, непрерывно возрастающей со временем. Поэтому необходимо исследовать, является ли время, определяемое уравнением Ф (i + В) = О, действительным. [c.436] Ф (у) не обращается в нуль при х = 0. Так как Ф = Ф / (у), то отсюда следует, что движение заканчивается, когда / (у) = 0. [c.437] Вернуться к основной статье