ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Пространственные колебания конусов из "Динамика системы твёрдых тел Т.1 " Пусть дуги WI = Z, GI г. В положении равновесия три отрезка прямых О IF, OG, 01 лежат в одной вертикальной плоскости и в этой плоскости они изображены на рис. 58. [c.431] Из этих уравнений после исключения одной из величин сг и 0 можно найти период колебаний. [c.432] 484 и 485 приведен элементарный вывод соотношений (2) и (3). В этом исследовании последовательность рассуждений соответствует рассуждениям, проведенным при решении задачи о колебаниях цилиндров (п. 441). Главное отличие состоит в том, что отрезки прямых, изображенные на рис. 58 при исследовании колебаний цилиндров, здесь заменены дугами больших кругов сферы. Доказательство соотношения (3) не представляет затруднений однако в общем случае, когда катящийся и неподвижный конусы имеют произвольную форму, соответствующий рисунок, используемый для вывода соотношения (2), становится значительно более сложным. В частных случаях, когда неподвижный конус вырождается в плоскость или когда катящийся конус является круговым, рассуждения существенно упрощаются, что будет отмечено в примерах в п. 486. В приведенных рассуждениях, относящихся к рассмотренному специальному случаю, намечены лишь контуры доказательства. [c.432] Другой метод. Из рассмотрения отдельных составляющих момента М силы тяжести относительно прямой РО, каждая из которых зависит от одной из переменных Qua, можно получить для них выражения, не прибегая к помощи более сложных рисунков, чем приведенный выше в этом пункте. Доказательство состоит в следующем. [c.432] Это уравнение можно получить аналитически (см. п. 509). Использованные геометрические построения в п. 509 будут заменены соответствующими операциями дифференцирования, и этот метод можно применять для получения сколь угодно высоких степеней приближения. [c.433] Пример 2. Тяжелый прямой конус с углом раствора 2р и высотой а подвешен вершиной в неподвижной точке и боковой поверхностью опирается на абсолютно шероховатую вертикальную стену. Конус совершает колебания. Доказать, что длина эквивалентного математического маятиика равна /,r,a se р (1 + 5 os р). [c.434] Обозначим через Ог вертикаль, вдоль которой конус касается стены в положении равновесия. Пусть в момент времени i коиус касается стены по образующей ON, где гОЫ = а. Обозначим через ОА ось конуса. Разлагая силу тяжести на две составляющие, параллельную и перпендикулярную прямой ON, и, вычисляя моменты этих составляющих относительно мгновенной оси вращения ON конуса, получаем уравнение = —(g sin сг) sin р. Далее, при повороте конуса вокруг прямой ON на угол 6 dt центр А основания конуса переместится на расстояние (а sm р) 0 dt, поэтому, если перпендикуляр к 0N обозначить через ОП, то точка Я переместится на такое же расстояние. Но это перемещение равно OH-da, т. е величине а os р da. Поэтому имеем 0 tg р = сг. Подставляя это значение 6 в приведенное уравнение и значение из примера 7 п. 17, без труда находим длину эквивалентного математического маятника. [c.434] Разложите силу тяжести на составляющую g os г, параллельную прямой наибольшего ската плоскости, и составляющую, перпендикулярную к плоскости. Последней составляющей можно пренебречь Далее решение аналогично решению предыдущей задачи. [c.434] Очевидно, что длина L эквивалентного математического маятника, выражение для которой было получено в п. 483, должна быть равна некоторой положительной величине. Это приводит к следующему построению, представленному на рис. 58. Отложим вдоль общей нормали I к поверхностям конусов в точке их касания отрезок длины IS = s такой, что tg s = tg p -f tg p. [c.434] Вернуться к основной статье