ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Теорема Кельвина. Теорема Делоне—Бертрана. Примеры из "Динамика системы твёрдых тел Т.1 " В левых частях этих уравнений (и, v, w) и (и, v, w ) обозначают составляющие скоростей точки массой m (п. 377). В правых частях они представляют составляющие скоростей точки приложения удара с компонентами X, Y, Z. [c.323] Конечно, это уравнение включает в себя два предыдущих уравнения как частные случаи. [c.323] Это возможное перемещение может быть получено из начального состояния приложением подходящих ударных импульсов, обозначим их X, Y, Z. При наличии этих импульсов скорость (и , v , w ) становится скоростью действительного движения. На этом основании можно выписать еще три уравнения, получающиеся из указанных выше заменой и, v, w ) на (и , v , w ) и (X, 7, Z) на X, Y, Z ). [c.323] Сравнивая эти уравнения, можно вывести несколько общих Теорем. [c.323] Во всех трех соотношениях нижние индексы у R совпадают с количеством штрихов у величин Т и и, у, хю). [c.324] Т — Т = возможной работе ударного импульса А на движении А. [c.324] Учитывая, что левая часть равна удвоенной разности живых сил после и до удара, можно сформулировать следующую теорему. Изменение живой силы движуш ейся системы при ударе равно сумме произведений ударных импульсов на средние арифметические от составляющих скоростей точек приложения этих импульсов непосредственно до и непосредственно после их действия. Обе составляющие берутся в направлении соответствующих импульсов. Различные доказательства этой теоремы для случая одного тела даны в пп. 172, 192, 346. [c.324] Таким образом, при ударе живая сила относительного движения системы равна сумме произведений ударных импульсов на половину избытка составляюи их скоростей их точек приложения непосредственно после удара над составляющими скоростей непосредственно до удара, причем обе составляюи ие берутся в направлении соответствующих импульсов. [c.325] Здесь в правой части и, и, хю пропорциональны предписанным перемещениям точек приложения импульсов, а в левой части и, у, да пропорциональны действительным перемещениям частицы массой т. [c.325] Отсюда сразу следует, что / 02 больше, чем Следовательно, если на движущуюся систему действуют ударные силы такие, что перемеи ния точек их приложения за время dt предписаны заранее, то последующее действительное движение отличается тем, что для него живая сила относительного движения до и после удара меньше, чем для любого другого возможного движения. [c.326] Сравнивая теоремы Кельвина и Бертрана, замечаем, что если заданы движения точек приложения ударов, то последующее движение может быть найдено как решение задачи минимума живой силы, если же заданы ударные импульсы, то последующее движение может быть найдено как решение задачи максимума живой силы при введении некоторых связей. [c.327] Эти уравнения определяют направляющие косинусы оси, вокруг которой тело начинает поворачиваться. [c.328] Пример 2. Четыре одинаковых стержня, каждый длиной 2а, шарнирно соединены в виде ромба AB D с углом А = 60° и находятся в покое. Применяя теорему Кельвина, показать, что если вершину А внезапно начать двигать со скоростью V вдоль диагонали СА, то величины начальных угловых скоростей всех стержней будут равны 3V/(7a). [c.328] Приравнивая нулю производную от этого выражения по ш получим начальное значение ш, которое приводится к указанному выше результату при 20 = 60°. [c.328] Пример 3. В теле, движущемся вокруг неподвижной точки О внезапно закрепляется ось ОС и этой оси сообщается заданное движение вокруг точки О. Найти движение (см. п. 293). [c.328] Полученное уравнение выражает тот факт, что момент количеств движения тела отнссительно оси ОС при ударе не изменяется. [c.328] Пример 4. На стержень АВ, находящийся в покое, перпендикулярно к его направлению в конце А действует ударный импульс F так, что этот конец начинает двигаться со скоростью /. Найти на АВ точку О, вокруг которой стержень начинает поворачиваться. 1) если задано f и 2) если задано /. Полагая АО = X, показать, что теоремы Кельвина и Бертрана приводят к минимизации одной и той же функции от х. [c.328] Пример 5. По одной из точек движущейся системы производится удар перпендикулярно к направлению движения этой точки. Доказать, что живая сила системы увеличивается. [c.328] Это следует из первого уравнения п. 383, так как работа этого импульса (импульс А) на возможном перемещении равна нулю на начальном движении. Следовательно, Т = Г - - Ry . [c.328] Вернуться к основной статье