ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Центральная сила. Задача трех точек. Теорема Якоби из "Динамика системы твёрдых тел Т.1 " Эти два утверждения нег необходимости выводить из уравнений движения Следующая общая теорема, которая в действительности эквивалентна сформулированным выше двум теоремам, может быть легко получена с помощью принципа Даламбера. [c.245] Если на систему не действуют никакие другие силы, кроме сил взаимодействия частиц, то количества движения всех частиц системы для двух произвольных моментов времени равны. [c.245] Могут быть сформулированы два закона- сохранения количества движения и сохранения площадей. [c.245] Если силы таковы, что их момент относительно некоторой неподвижной оси равен нулю, то тогда момент количеств движения системы (п. 77) относительно этой оси остается постоянным. [c.246] Очевидно, что эти законы являются лишь частными случаями результатов, доказанных в п. 79. [c.246] Пример. Две частицы с массами т, т движутся вокруг одного и того же центра сил. Величины к, К представляют собой площади, описываемые каждым радиусом-вектором в единицу времени. Доказать, что величина тк т й не изменится в результате соударения этих частиц. [c.246] Если имеются п точек, то таким же образом можно показать, что количества движения тл, т ь. . подобно силам будут находиться в равновесии, и если, начиная из какой-нибудь точки, откладывать отрезки, параллельные направлениям движения и пропорциональные количествам движения точек, то они будут образовывать замкнутый многоугольник. [c.246] Если Р, Р, Р представляют собой результирующие сил притяжения, приложенных к трем точкам, то линии действия сил Р, Р, Р также пересекаются в одной точке. Действительно, пусть X, V, I — силы, действующие между точками т и т , т и т, т и т, взятыми в указанном порядка. Тогда Р, Р, Р являются результирующими соответсгвеино — и Z, —Z и X, —X и У. [c.246] Поэтому три силы F, F, F находятся в равновесии ), и следовательно, их линии действия пересекаются в некоторой точке О. Кроме того, величина каждой результирующей пропорциональна синусу угла между направлениями двух других. Эта точка не является, вообще говоря, неподвижной и не совпадает с О. [c.247] Если притяжение прямо пропорционально расстоянию, то две точки О, О совпадают с центром тяжести G и неподвижны в пространстве в течение всего движения. В самом деле, из статики известно, что для данного закона притяжения полное притяжение, действующее на одну из точек со стороны всей системы, является таким же, как если бы вся система была сосредоточена в своем центре тяжести. Поэтому О совпадает с G. Поскольку каждая точка начинает двигаться из состояния покоя, то начальная скорость центра тяжести равна нулю, и, следовательно, согласно п. 79, G представляет собой неподвижную точку. С другой стороны, поскольку каждая точка начинает двигаться из состояния покоя и вынуждена перемещаться к неподвижной точке G, то она будет двигаться вдоль прямой линии, соединяющей ее начальное положение с точкой G. Таким образом, О совпадает с G. [c.247] Аналогичные утверждения для некоторых других законов сил даны в качестве примеров в конце п. 286, где приведены также краткие указания к их доказательству. [c.247] Отсюда следует, что либо три точки лежат на одной прямой, либо р I = = р + . Если /г = —1, то это есть закон притяжения, согласно которому сила изменяется пропорционально расстоянию. Если fe —1, то имеем р = р , и треугольник должен быть равносторонним. [c.248] Предположим, что точки перемещаются в направлениях, которые составляют равные углы с отрезками прямых, соединяющими их с центром тяжести, со скоростями, пропорциональными длинам этих отрезков. Предположим также, что результирующие сил притяжения, направленные к центру тяжести, пропорциональны указанным расстояниям, тогда во всех трех случаях те же самые условия будут иметь место в конце интервала времени dt и далее по непрерывности. Следовательно, три точки будут описывать вокруг центра тяжести подобные друг другу орбиты. [c.248] Траектории точек будут подобными эллипсами, имеющими в качестве общего фокуса центр тяжести. [c.249] Второе. Пусть предполагается, что сила притяжения изменяется пропорционально расстоянию. В этом случае притяжение, действующее на каждую точку, будет таким же, как если бы все три точки были сосредоточены в центре тяжести. Каждая точка будет описывать за одно и то же время эллипс с центром в этой точке Начальные условия движения должны быть таковы, что скорости в начальный момент были бы пропорциональны начальным расстояниям до центра тяжести, а направления скоростей составляли бы равные углы с направлениями, отвечающими этим расстояниям. [c.249] Причина указанного противоречия состоит, конечно, в нарушении непрерывности, которое происходит в момент встречи частиц. Когда точки т, т разделены очень малым расстоянием к, мы имеем в конечном счете х = где = m + т. Извлекая квадратный корень, находим х = Е х Если точки приближаются друг к другу, то корню необходимо придать отрицательный знак, поскольку к положительно, а х отрицательно. Если же они проходят одна сквозь другую, то расстояние х между ними меняет знак при переходе через нуль, в то время как мгновенное значение скорости остается неизменным Следовательно, необходимо взять корень с положительным знаком Таким образом, хх меняет знак или, что равносильно этому, постоянная Е терпит разрыв, внезапно изменяя знак при соударении точек. Итак, каждая встреча указывает фазу движения, в которой следует заново начинать решение задачи и в которой значения произвольных постоянных должны быть снова определены. [c.252] Вернуться к основной статье