ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Конечные повороты. Теорема Родрига и Сильвестра Винты из "Динамика системы твёрдых тел Т.1 " Задача I. Симметричный волчок вращается на абсолютно шероховатом столе вокруг почти вертикальной оси. Найти малые колебания волчка ). [c.232] Обозначим О вершину, ОС — ось волчка, С и А — моменты инерции относительно оси ОС и перпендикулярной к ней оси. Так как центр тяжести О волчка лежит на его оси, то момент приложенных сил относительно оси ОС равен нулю. Кроме того, Л = В и, следовательно, третье уравнение Эйлера дает Сшз = 0. [c.232] Таким образом, угловая скорость волчка относительно его оси всегда одна и та же. Эту постоянную угловую скорость СОд обозначим я. [c.232] Пусть 5, т), — косинусы углов оси ОС с неподвижными осями Ох, Оу, Ог, из которых ось Ог вертикальна. Так как ось волчка всегда очень близка к вертикали, то будем считать = 1, в то время как и т) — малые величины, квадратами которых можно пренебречь. Пусть 00 =- I, а масса волчка равна единице (рис. 38). [c.232] Уравнение моментов относительно оси г еще раз подтверждает, что сОд постоянно. Этот результат уже был установлен с помощью уравнений Эйлера. [c.233] Обозначая эти корни через х = Xj и х = Ца, найдем 1= os /i) + Яа os (iJ,2 + /2). [c.233] Предполагая, что Pi и Рг не равны, обнаруживаем, что д никогда не может обратиться в нуль, т. е. ось волчка никогда не может принять строго вертикальное положение. i ) также никогда не обращается в нуль, если PiP ( .ii + Ц2) пе превосходит Р [ц+ Р м-2. т. е. плоскость ZO будет вращаться вокруг оси Ог всегда в одном и том же направлении или с временными изменениями направления на обратное в зависимости от того, будет или нет величина Р1/Р2 находиться между и единицей. [c.233] Для этого требуется, чтобы я]) в начальный момент отличалось от ( ii + на малую величину порядка Р. В этом случае сохраняет знак во все время движения, а ось занимает вертикальное положение через интервалы времени, равные — [Хз). [c.234] Мы предположили, что оба значения i действительны и различны. Если величина п настолько мала, что ц имеет комплексные значения, то формулы для S и т будут содержать действительные экспоненты и величины и т в общем случае не будут оставаться малыми. Это указывает на то, что волчок не обладает достаточным вращением относительно своей оси, чтобы ось сохраняла вертикальное положение. Она начнет удаляться от вертикали. Последующее ее движение здесь исследоваться не будет. [c.234] Обозначим эту плоскость ху, и пусть F, F — составляющие силы трения, приложенной в точке касания, по осям координат. Компоненты активных сил X, Y будем предполагать приложенными к центру шара, у которого а — радиус, k — его радиус инерции относительно диаметра, и пусть масса шара равна единице (рис. 39). [c.234] Если точка касания шара с плоскостью не проскальзывает, то и — ащ =0, у + ащ = 0. [c.234] Если однородный шар катится по неподвижной шероховатой плоскости под действием произвольных сил, результирующая которых проходит через центр шара, то движение центра будет точно таким же, как если бы плоскость была гладкой, а все силы составляли 5/7 от их прежних значений. [c.235] Пример 1. Шар катится по шероховатой плоскости. Коэффициент трения больше величины 2R/ 7Z), где R — проекция на плоскость результирующей приложенных сил, а Z — нормальная сила. Доказать, что сила трения будет достаточной для предотвращения проскальзывания шара. [c.235] Пример 2. Шар находится на абсолютно шероховатой наклонной плоскости. Ему сообщается в произвольном направлении скорость. Показать, что траектория центра шара представляет собой параболу. Если V — горизонтальная составляющая начальной скорости, а — угол наклона плоскости к горизонту, то параметр параболы будет равен 141/V(5g sin а). [c.235] Пример 3. Однородный шар катится по абсолютно шероховатой плоскости под действием силы, изменяющейся обратно пропорционально квадрату расстояния от точки Р, лежащей в плоскости движения центра шара. Доказать, что этот центр описывает коническое сечение, и если, после того как расстояние от центра шара до точки Р составит V4 от большой полуоси его траектории, шар перейдет на гладкую часть плоскости, то большая ось траектории мгновенно уменьшится до от ее прежней величины. [c.235] Пример 4. Однородный шар движется без вращения по гладкой горизонтальной плоскости под действием центральной силы так, что центр шара описывает эллипс, фокус которого находится в центре сил. Пусть шар переходит на абсолютно шероховатую часть плоскости, когда расстояние его центра от центра сил составляет 1/п от большой оси его траектории. Показать, что большая полуось уменьшится в отношении 7/(2 + 5). Если шар снова переходит на гладкую часть плоскости, когда расстояние его центра от фокуса составляет ту же самую долю большой полуоси, как и ранее, то большая полуось снова уменьшается в том же самом отношении. [c.235] Пример 5. Два шара равного объема, но различной массы взаимно притягиваются в соответствии с законом всерлирного тяготения и катятся по шероховатой плоскости. Показать, что центр каждого из шаров опишет эллипс с фокусом, расположенным в их общем центре тяжести. [c.235] Пример 6. Однородный круглый диск вращается в своей плоскости с очень большой угловой скоростью вокруг своего закрепленного центра О. В точке А диска сделан прокол в направлении, перпендикулярном к его плоскости. Доказать, что диаметр диска, проходящий через точку А, приближенно будет описывать плоскость, угол наклона которой к первоначальному положению плоскости диска мал, в то время как перпендикулярный к нему диаметр будет описывать ту же самую плоскость, как и ранее. [c.235] Пример. Тяжелое тело закреплено с помощью двух шарниров на горизонтальной оси, вокруг которой оно может свободно вращаться. Эта ось в свою очередь, вращается с постоянной угловой скоростью ш вокруг вертикальной оси, пересекающейся с ней в точке О. Требуется найти, при каких условиях тело будет наклонено под постоянным углом к вертикали. [c.235] Вернуться к основной статье