ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Сложение и разложение винтовых движений из "Динамика системы твёрдых тел Т.1 " Движение тела за интервал времени сИ будет полностью известно, если заданы эти шесть величин. Эти шесть величин называются компонентами движения тела Теперь попытаемся определить движение произвольной точки Р с координатами х, у, г. [c.209] Пусть заданы компоненты движения тела и, и, w и со , со , o . Необходимо найти центральную ось, скорость вдоль этой оси и угловую скорость вращения вокруг нее, т. е. необходимо найти мгновенное винтовое движение. [c.210] Отношение V Q называется параметром (шагом) винта. [c.211] Если движение таково, что первый из этих инвариантов равен нулю, то отсюда следует, что либо У = О, либо I2 = 0. Таким образом, движение будет либо поступательное, либо враш ательное. Чтобы движение было вращательное, toy, oz не должны одновременно равняться нулю. [c.211] Соответствующим инвариантом в статике служит величина LX + MY + NZ = GR. Если она обращается в нуль, то система сил либо эквивалентна одной равнодействующей, либо приводится к одной паре. [c.211] Пример I. Найти инварианты / и Q для а) двух угловых скоростей со, ш б) двух линейных скоростей uj, V2, в) угловой скорости ш и линейной скорости V. [c.211] Для доказательства следует сложить шесть инвариантов для составляющих со, со, V, V, взятых попарно. [c.212] Очевидно, что осью вращения может быть только центральная ось, которая может быть найдена указанным выше способом. [c.212] В последнем случае во избежание путаницы необходимо условиться о выборе положительных направлений скоростей V и Q. Скорость V положительна, если ее направление совпадает с положительным направлением оси. Точно так же угловая скорость положительна, если человеку, расположенному вдоль оси таким образом, что положительное направление оси соответствует направлению от его ног к голове, вращение тела кажется происходящим по часовой стрелке. Это, очевидно, обычное определение положительной пары, которое дается в статике (см. п. 231). [c.212] Возьмем два винтовых движения и выберем надлежащим образом центр приведения и центральные оси. Согласно п. 244 для любого винтового движения можно указать шесть компонент, соответствующих выбранному центру приведения. Складывая их попарно, получим шесть компонент результирующего винтового движения. Затем в соответствии с п. 240 находим центральную ось, линейную и угловую скорости винта. [c.213] Обратно, любое винтовое движение можно разложить на два бесчисленным множеством способов. Так как при любом центре приведения винтовое движение характеризуется шестью компонентами, то в случае двух винтовых движений их будет двенадцать. Шесть из них необходимы для обеспечения эквивалентности двух винтовых движений данному. Следовательно, в общем случае шесть оставшихся величин можно выбирать по нашему усмотрению. [c.213] Таким образом, в качестве оси одного из винтов можно выбрать любую прямую и взять произвольную линейную скорость вдоль этой оси и произвольную угловую скорость вращения вокруг нее. Тогда другой винт может быть найден сложением винта, обратного с заданным. [c.213] Кроме того, можно представить движение с помощью двух винтов с нулевым шагом. Ось одного из них выбирают произвольно. Эти винты определяют сопряженные оси, о чем говорилось в п. 237. [c.213] Пример 3. Покажите, что в мгновенном движении тела геометрическое место касательных к траекториям различных его точек, расположенных на прямой, есть гиперболический параболоид. [c.214] Пусть АВ — данная прямая, а D — сопряженная с ней. Точки прямой АВ вращаются вокруг прямой D, следовательно, все касательные проходят через две прямые, соответственно через АВ и ее последующее положение А В, и параллельны плоскости, перпендикулярной к прямой D. [c.214] Может представиться случай, когда данное движение и данная ось таковы, что из первого уравнения для Q получается бесконечно большое значение. Однако это скорее предельный случай, нежели исключительный. Легко видеть, что в этом случае и первое, и второе уравнения при подстановке в них х = / + It, У = g rnt, Z = h- - nt удовлетворяются, т. е. сопряженная ось совпадает с данной Если — угловая скорость вращения вокруг сопряженной оси, то Q и Q в совокупности эквивалентны результирующей угловой скорости данного движения. Отсюда следует, что и значение Q также бесконечно. [c.215] Другой предельный случай будет, если заданная ось параллельна центральной оси заданного движения и инвариант движения не равен нулю. В этом случае направляющие косинусы I, т, п пропорциональны Юх, Щ и второе уравнение определяет бесконечно удаленную плоскость Таким образом, сопряженная ось удалена на бесконечность, а угловая скорость вращения вокруг нее равна нулю. [c.215] Пример 1 Показать, что любая плоскость имеет характеристику и фокус Пусть центральная ось пересекается с плоскостью в точке О Разложим линейную и угловую скорости по двум направлениям Ov, Oz, первое из которых лежит в плоскости, а второе — перпендикулярно к ней Поступательные перемещения вдоль осей Ох и Oz можно исключить, еслн мы перенесем оси вращения Ох и Oz параллельно самим себе в соответствии с п 234 Таким образом, движение представляется вращением вокруг оси, лежащей в плоскости, и вращением вокруг оси, перпендикулярной к ней Отсюда следует также, что характе ристика плоскости параллельна проекции центральной оси на эту птоскость Пример 2 Плоскость жестко связана с телом и движется вместе с ним Показать, что она пересекает свое последующее положение по характеристике Показать также, что проекция скорости любой точки Р плоскости на перпенди куляр к этой плоскости пропорциональна расстоянию данной точки от харакге ристики, а проекция скорости на плоскость пропорциональна расстоянию эт ой точки от фокуса С и перпендикулярна к отрезку СР. [c.216] Вернуться к основной статье