ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Влияние температуры. Выталкивающее действие воздуха из "Динамика системы твёрдых тел Т.1 " Пусть некоторая неподвижная в пространстве плоскость, проходящая через ось вращения тела, принята в качестве координатной плоскости, а й — угол, который другая плоскость, жестко связанная с телом и также проходящая через эту ось, составляет с первой плоскостью. Обозначим т массу произвольной частицы тела, г — ее расстояние от оси, а ф — угол, образованный плоскостью, проходящей через ось и частицу массой т, с координатной плоскостью. [c.80] Скорость частицы т в направлении, перпендикулярном к плоскости, проход,ящей через ось тела и частицу, равна /-ф. Момент количества движения этой частицы относительно оси равен /га/- ф. Поэтому момент количеств движения всех частиц тела равен 2/гаг ф. Так как частицы тела жестко связаны между собой, то ф будет одинаковым для всех частиц и равным . По аналогичным соображениям, момент количеств движения всех частиц тела относительно оси равен т. е. произведению момента инерции тела относительно оси на его угловую скорость. [c.80] Составляющие ускорения частицы т вдоль радиуса г в направлении его возрастания и перпендикулярно к нему равны соответственно — /-ф и /-ф. Тогда момент эффективных сил частицы т относительно оси составит тг ф. Поэтому момент эффективных сил всех частиц тела относительно оси выражается тг ф. По тем же соображениям, что и ранее, он равен тг , т. е. произведению момента инерции тела относительно оси на угловое ускорение. [c.80] По принципу Даламбера эффективные силы, взятые с противоположными знаками, уравновешиваются приложенными силами. Чтобы не вводить неизвестные реакции оси, вычислим моменты относительно оси вращения. [c.80] Это уравнение определяет изменение угловой скорости, вызванное действием ударных сил. [c.81] Проинтегрировав это уравнение, получим величины тЗ и б для любого момента времени. В процессе интегрирования появляются две произвольные постоянные. Они должны быть найдены по начальным значениям величин б- и д. Таким образом, движение может быть полностью определено. [c.81] Пусть — момент инерции тела, где к — радиус инерции тела. Тогда, если бы вся масса тела была сосредоточена в частице, прикрепленной к неподвижной оси при помощи невесомого стержня, длина которого равна радиусу инерции к, и если бы на эту систему действовали силы, имеющие тот же самый момент, что и силы, приложенные. к телу, а движение начиналось с теми же самыми начальными значениями О и О, то все последующее вращательное движение стержня было бы таким же, как и у тела. Короче говоря, тело, вращающееся вокруг неподвижной оси, динамически задано, если известны его масса и радиус инерции. [c.81] Следовательно, период колебания равен 2л К ) (gh). Если кик измерены в сантиметрах и g = 981 см/с , то по этой формуле период измеряется в секундах. [c.82] Эта величина называется приведенной длиной маятника ). [c.82] Центр качаний ). Через центр тяжести тела С проведем перпендикуляр к оси вращения до пересечения с ней в точке С. Точку С назовем точкой подвеса. Продолжим СО до точки О так, что СО = I. Точка О называется центром качаний. Если бы вся масса тела была сосредоточена в центре качаний и подвешена с помощью нити, то при одинаковых начальных условиях период ее колебаний был бы тем же самым, что и для тела. [c.83] Уравнение (4) можно представить в иной форме. Так как СО = к и 00 = I — А, то СО- 00 равно квадрату радиуса инерции относительно точки О СО-СО равно квадрату радиуса инерции относительно точки С 00- ОС равно квадрату радиуса инерции относительно точки О. [c.83] Каждое из этих соотношений показывает, что если О принять за точку подвеса, а ось вращения — параллельной оси, относительно которой была вычислена ч величина к, то точка С будет центром качаний. Таки.м образом, центр качаний и точка подвеса взаимно заменяемы, а периоды колебаний относительно этих точек равны. [c.83] Если известен период колебаний, то известна длина /, и из уравнения (4) можно найти два значения А и Ао. Если построить два цилиндра с радиусами ку и А, и общей осью, относительно которой радиус инерции равен к, то период колебаний тела относительно любой из образующих этих цилиндров будет один и тот же. [c.83] Построим около той же оси третий цилиндр с ралиусом к. Тогда / = 2/е + (А — к)-/к. Поэтому величина / всегда больше 2к и непрерывно уменьшается при уменьшении величины к, стремящейся к значению к. Следовательно, приведенная длина маятника непрерывно уменьшается, когда ось подвеса приближается извне к поверхности этого третьего цилиндра. Когда осью подвеса служит образующая цилиндра, то приведенная длина маятника равна 2к. Если ось подвеса лежит внутри цилиндра и приближается к центру тяжести, то приведенная длина маятника непрерывно возрастает и становится бесконечной, когда ось проходит через центр тяжести. [c.83] Пример 2. Эллиптическая пластинка совершает колебания вокруг горизонтальной оси, проходящей через один из ее фокусов. Показать, что если центр качаний совпадает с другим фокусом, то эксцентриситет этого эллипса равен 1/2. [c.84] Пример 3. Дуга окружности колеблется около оси, проходящей через ее середину перпендикулярно к плоскости дуги. Доказать, что приведенная длина маятника не зависит от длины дуги и равна ее удвоенному радиусу. [c.84] Пример 4. Плотность стержня изменяется пропорционально расстоянию от одного из его концов. Показать, что перпендикулярная к нему ось с минимальным периодом колебаний пересекает стержень в одной из двух точек, расстояние которых от центра тяжести равно 1А2а/6, где а — длина стержня. [c.84] Пример 5. Эллипс совершает колебания около неподвижной оси, лежащей в его плоскости. Каким образом надлежит выбрать эту ось, чтобы период малых колебаний был минимальным Показать, что ось должна быть параллельна большой оси эллипса и делит пополам малую полуось. [c.84] Пример 6. Однородный стержень свободно подвешен за один конец, а другой его конец касается земли. Затем стержню сообщают угловую скорость вращения в вертикальной плоскости. Когда он отклоняется на угол в 90°, то конец, за который он подвешен, освобождают. Какой должна быть начальная угловая скорость, чтобы при падении на землю стержень встал вертикально. [c.84] Вернуться к основной статье