ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Геометрическое место точек равных моментов инерции и равномоментная поверхность из "Динамика системы твёрдых тел Т.1 " Геометрическое доказательство встречающихся в этолг параграфе утверждений можно найти в предыдущих изданиях этой книги. [c.55] В точке, для которой она служит главной осью. [c.56] что эти уравнения приводятся только к одному уравнению, которое и является искомым условием того, что прямая будет главной осью инерции для некоторой точки, лежащей на ней. [c.56] Аналитическое условие (4) как раз и выражает тот факт, что поляра параллельна линии пересечения плоскостей. [c.57] Пример 2. Показать, что произвольная прямая, лежащая в плоскости пластинки, является главной осью инерции этой пластинки для некоторой ее точки. Определить положение этой точки, если прямая проходит через центр тяжести. [c.57] Пример 4. Пусть две точки Я и Q расположены так, что главная ось инерции тела для точки Р пересекает главную ось инерции для точки Q. Доказать, что если провести через точки Р и С две плоскости перпендикулярно к этим главным осям, то линия пересечения этих плоскостей будет главной осью инерции для точки, в которой эта линия пересекается с плоскостью, проходящей через главные оси инерции для точек Я и Р (Таунсенд). [c.57] Допустим, что главные оси инерции для точек Р и 2 пересекают какую-нибудь главную плоскость инерции для центра тяжести тела в точках р и д, и пусть плоскости, перпендикулярные этим осям и проходящие через точки Р и Q, пересекают эту главную плоскость по прямым ЕМ, ММ. Предположим также, что эти перпендикулярные к осям плоскости пересекаются по прямой ЯМ. Тогда прямая ЯМ перпендикулярна к плоскости, содержащей точки Р, Q, р, д. Так как полярами точек рад служат прямые ЬМ и ММ, то, следовательно, прямая рд будет полярой для точки М. Отсюда вытекает, что прямая ЯМ удовлетворяет критерию, указанному в предыдущем параграфе. [c.57] Пример 5 (Таунсенд). Пусть Р — произвольная точка, расположенная в главной плоскости инерции, построенной для центра тяжести системы. Доказать, чго каждая прямая, проходящая через точку Р и являющаяся главной осью инерции для некоторой своей точки, расположена в одной из двух взаимно перпендикулярных плоскостей. Одна из этих плоскостей — главная плоскость инерции для центра тяжести другая плоскость перпендикулярна поляре точки Р относительно фокального конического сечения. Таким образом, геометрическим местом всех точек Q, для которых прямая QP служит главной осью инерции, является проходящая через точку Р окружность с центром, расположенным в построенной главной плоскости инерции. [c.57] Пример 6. Показать, что ребро возврата развертывающейся поверхности, которая служит огибающей нормальных плоскостей произвольной линии кривизны, проведенной на софокусной поверхности второго порядка, является такой кривой, что любая ее касательная будет главной осью инерции для некоторой точки, лежащей на этой оси. [c.57] Приравнивая и 1 , получим = О и, следовательно, точка Р должна лежать на фокальном эллиптическом сечении гирационного эллипсоида. [c.58] Эти результаты следуют также из пп. 57 и 58. Описанный около гирационного эллипсоида конус с вершиной в точке Р должен на основании результатов этих пунктов быть прямым круговым, если два главных момента инерции для точки Р равны. Но из стереометрии известно, что это будет только в том случае, если его вершина лежит на фокальном коническом сечении, и тогда осью неравных моментов инерции будет касательная к этому коническому сечению. [c.58] Построим две произвольные софокусные поверхности второго порядка с большими полуосями а и а. Проведем к этим поверхностям любые две касательные плоскости, пересекающиеся под прямым углом. Момент инерции относительно их линии пересечения равен сумме моментов инерции относительно этих двух плоскостей и равен поэтому В+С — А а а . Таким образом, моменты инерции относительно линий пересечения любых взаимно перпендикулярных касательных плоскостей к рассматриваемым софокусным поверхностям равны. [c.58] Обозначим через а, а, а длины больших полуосей трех софокусных поверхностей, проходящих через произвольную точку Р. Тогда, так как софокусные поверхности пересекаются под прямыми углами, момент инерции относи-1ельно касательной к линии пересечения софокусных поверхностей с главными полуосями а, а будет / = В + С — А- - а а . [c.58] Однако вдоль геодезической линии на третьей поверхности величина sin ф + а os ф постоянная. Следовательно, моменты инерции относительно касательных к любой геодезической линии на софокусной поверхности второго порядка равны. [c.59] Пример 2 Выбирая в качестве осей координат главные оси инерции для центра тяжести тела, показать, как найти координаты точки Р, для которой три главных момента инерции равны трем заданным величинам /j, /2, /3 [задача Жульена (J U И i е п) ]. [c.59] Чтобы опустить перпендикуляр из центра О на эту касательную плоскость, можно воспользоваться правилом Евклида Обозначив через РР касательную к сфероконической кривой, опустим из точки О перпендикуляр на РР. Это будет ОР, так как РР — касательная к сфере. Через точку Р в касательной плоскости проведем перпендикуляр к РР и обозначим его через PQ. PQ — нормаль к софокусной поверхности второго порядка. Из точки О проведем перпендикуляр 0Q к этой нормали. Тогда 0Q будет нормалью к касательной плоскости. Отсюда вытекает следующее построение. [c.60] Если точка Р — любая точка на равномоментной поверхности параметра I и отрезок 0Q — перпендикуляр, опущенный из центра на касательную плоскость, то прямая PQ для точки Р служит главной осью инерции, относительно которой момент инерции равен I. [c.60] Если / больше, чем наибольший главный момент инерции относительно центра тяжести, то равномоментная поверхность становится волновой поверхностью Френеля (Fresnel). Общий вид поверхности хорошо известен ) и здесь не рассматривается. Эта поверхность состоит из двух полостей, которые становятся концентрическими сферой и сфероидом, когда равны два главных момента инерции относительно центра тяжести. Если эти главные моменты не равны, поверхность имеет две особенности. [c.60] Вернуться к основной статье