ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Равномоментные системы твердых тел из "Динамика системы твёрдых тел Т.1 " Обратная теорема. Если два тела имеют равные моменты инерции относительно любой оси, то оси, относительно которых моменты, инерции минимальны и максимальны, одинаковы для обоих тел. [c.35] Действительно, среди всех параллельных прямых, имеющих заданное направление, момент инерции будет наименьшим относительно той прямой, которая проходит через центр тяжести данного тела (см. п. 13). [c.35] Рассмотрим произвольную прямую, перпендикулярную прямой, соединяющей центры тяжести С и С. Минимальным момент инерции одного тела относительно рассматриваемой прямой будет в том случае, когда эта прямая проходит через С, а для другого тела, когда прямая проходит через С. Они не могут быть одинаковыми, если С не совпадает с С. [c.35] Рассмотрим затем все прямые, проходящие через общий центр тяжести этих двух тел. Оси, относительно которых моменты инерции каждого тела максимальны и минимальны, представляют собой главные оси инерции этого тела для рассматриваемой точки (см. п. 23). Эти оси, будучи построены для общего центра тяжести, должны поэтому совпадать в обоих телах. Третьи главные оси в каждом теле перпендикулярны к указанным двум осям и также должны совпадать. [c.35] Наконец, рассмотрим две параллельные оси, расположенные на расстоянии р одна от другой, причем одна из них проходит через общий центр тяжести. Согласно теореме о параллельных осях разность моментов инерции относительно этих осей для каждого тела равна Мр , где М — масса соответствующего тела. Однако оба момента инерции и расстояние р одинаковы для каждого тела, поэтому массы также должны быть равны. [c.35] Найти моменты и произведения инерции площади треугольника относительно произвольных осей. [c.36] Если Р и 7 — расстояния вершин и треугольника А В С от произвольной прямой АхХ, проведенной через вершину Ах в плоскости треугольника, то, как известно, момент инерции площади треугольника относительно прямой ЛхХ равен /( М (Р + + где УИ — масса треугольника. [c.36] Так как равенство моментов инерции существует для всех прямых, проходящих в плоскости треугольника через точку О, то оно будет справедливо и для двух взаимно перпендикулярных прямых ОХ и ОУ, и поэтому также для прямой 02, перпендикулярной плоскости треугольника. [c.36] Одна из главных осей инерции площади треугольника и рассматриваемой системы трех материальных точек относительно точки О перпендикулярна плоскости треугольника и поэтому одна и та же для обеих систем. Главные оси инерции для точки О, расположенные в плоскости треугольника, — это такие две прямые, относительно которых моменты инерции имеют наибольшее и наименьшее значение, поэтому на основании предыдущего эти оси будут одними и теми же для обеих систем. [c.36] Если две системы для некоторой точки имеют одни и те же главные оси и главные моменты инерции, то у них также будут одинаковые моменты инерции относительно всех осей, проходящих через эту точку, и одинаковые произведения инерции относительно любых двух прямых, пересекающихся в этой точке. Когда же рассматриваемая точка является центром тяжести обеих систем, это утверждение будет справедливо и для любой другой точки. [c.36] Таким образом, если три точки, каждая массой, равной одной трети массы треугольника, будут расположены в середине каждой стороны треугольника, то для площади треугольника и выбранной системы материальных точек моменты инерции относительно произвольной прямой и произведения инерции относительно любых двух пересекающихся прямых совпадают. [c.36] Подобным приемом при надлежаще выбранных эквивалентных точках можно пользоваться и в случаях, когда ф является полиномом третьей или четвертой степени от х, у, г. Но так как эти случаи не используются в динамике твердых тел, то немного позже будут приведены только несколько соответствующих результатов. [c.37] Из этих двух требований первое значительно важнее второго. Кроме облегчения процесса интегрирования, равномоментные системы материальных точек могут иметь и другое применение. Ниже будет показано, что такие системы материальных точек важны и в динамике. [c.37] Пусть эллипс, вписанный в треугольник, касается двух сторон А- Вх и В Сх в их серединах Рх и Ох. Тогда по теореме Карно этот эллипс будет касаться третьей стороны САх в ее середине Ех. Так как прямая ОхРх параллельна стороне СхАх, касательной к эллипсу в точке Ех, то прямая, соединяющая точку Ех с серединой N прямой ОхРх, проходит через центр эллипса О поэтому точка О является центром тяжести треугольника. [c.37] Отсюда следует, что моменты инерции системы относительно прямых ОЕ- , ОР , ОВ обратно пропорциональны величинам 0Е, 0Р, 0В. Если выбрать эллипс инерции подходящего размера, то он пересечет вписанный эллипс в точках Ех, Рх, Ох, а также в точках, являющихся противоположными концами диаметров, проходящих через точки Ех, Рх, Ох- Однако два эллипса пе могут пересекаться в шести точках, если только они не совпадают. Следовательно, вписанный эллипс представляет собой эллипс инерции площади треугольника для точки О. [c.38] Прямая, перпендикулярная в точке О к плоскости треугольника, служит главной осью инерции этого треугольника (см. п. 16). Следовательно, для эллипсоида инерции площади треугольника вписанный эллипс является сечением этого эллипсоида инерции главной плоскостью. Пусть 2а и 26 — длины осей этого эллипса, 2с — длина оси эллипсоида, перпендикулярной к плоскости треугольника. Тогда на основании пп. 7 и 9 получим с = = а-2 + 6-2. [c.38] Если треугольник равносторонний, эллипсоидом инерции будет сфероид, и каждая ось, проходящая через центр тяжести треугольника в его плоскости, будет главной осью инерции. [c.38] Выше было показано, что любой эллипс, одинаково расположенный с эллипсом инерции и подобный ему, представляет собой эллипс инерции. Поэтому в качестве эллипса инерции треугольника можно выбрать описанный около него эллипс с центром, совпадающим с центром тяжести треугольника. [c.38] Пример 4. Показать, что направления главных осей инерции площади треугольника для его центра тяжести О можно построить следующим образом. Отложим на прямой, перпендикулярной к произвольной стороне ВхСх и проходящей через ее середину Ох, отрезки ОхН = бй /р и ОхП = к /р. Здесь р — длина перпендикуляра, опущенного из вершины Ах на сторону ВхСх, к, к — главные радиусы инерции, найденные в предыдущем примере. Тогда ОН и ОН будут направлены по главным осям инерции для точки О, относительно которых главные моменты инерции равны соответственно Мк и Мк . [c.38] Вернуться к основной статье