ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Определения. Элементарные свойства. Справочные данные из "Динамика системы твёрдых тел Т.1 " В дополнение к этим основным сведениям в данной главе помещен материал, отражающий более общую точку зрения на распределение главных осей инерции в теле Эти теоремы, хотя и не столь важные, как предыдущие, тоже представляют известный интерес. [c.11] В этом трактате рассмотрены главным образом моменты и произведения инерции, так как они — единственные случаи приложения указанного интеграла в динамике. [c.11] Если М — масса системы, а k — такая величина, что Mk равно моменту инерции системы относительно данной оси, то k называется радиусом инерции системы относительно этой оси. [c.12] Термин момент инерции был введен Эйлером и давно вошел в употребление. [c.12] Воспользуемся для удобства следующими дополнительными определениями. [c.12] Если массу каждой частицы материальной системы умножить на квадрат ее расстояния от данной плоскости или от данной точки, то сумма таких произведений будет называться моментом инерции системы относительно этой плоскости или этой точки. [c.12] Если в качестве координатных осей выбраны две прямые Ох и Ог/, и масса каждой частицы умножается на ее две координаты X, у, то сумма таких произведений называется произведением инерции системы относительно этих двух осей. Можно было бы и, вероятно, даже более удобно называть это выражение произведением инерции системы относительно двух координатных плоскостей XZ, уг. [c.12] Я = um (л -f -f 2 ) = тг где г — расстояние частицы массы т от начала координат. [c.12] Найти момент инерции однородного треугольника относительно оси, лежащей в плоскости треугольника и проходящей через одну из его вершин. [c.14] Пример. Доказать, что момент инерции окружности радиуса а и массой М относительно любого диаметра равен Ма 12. [c.15] Так как каждый элемент дуги окружности одинаково удален от оси, проходящей через центр окружности перпендикулярно к ее плоскости, момент инерции относительно этой оси будет С = Ма . Отсюда, так как А = В, вытекает требуемый результат. [c.15] В частности, в случае круга радиуса а момент инерции относительно диаметра равен Ма И, а относительно оси, перпендикулярной к плоскости круга и проходящей через его центр, равен Ма 2. [c.15] В частности, в случае шара радиуса а его момент инерции относительно диаметра = 2Ма 1Ъ. [c.15] Все эти результаты можно объединить в одно мнемоническое правило. [c.16] В знаменателе должны стоять числа 3, 4 или 5 в соответствии с тем, ограничено тело прямоугольным параллелепипедом, эллипсом или эллипсоидом. [c.16] Таким образом, если требуется вычислить момент инерции круга радиусом а относительно его диаметра, нужйо воспользоваться тем, что полуось, перпендикулярная диаметру и лежащая в плоскости круга, равна радиусу а, а полуось, перпендикулярная к плоскости круга, равна нулю. Следовательно, искомый момент инерции равен Мс , где М. — масса круга. Если требуется вычислить момент инерции этого круга относительно оси, перпендикулярной плоскости круга и проходящей через его центр, нужно воспользоваться тем, что каждая из оставшихся взаимно перпендикулярных полуосей равна а, и искомый момент инерции поэтому М. (а + а )/4 = Ма 12. [c.16] Определение момента инерции площади эллипса относительно его малой оси. [c.16] Пример 4 Пластинка ограничена четырьмя гиперболами, для двух из которых оси прямоугольных координат служат асимптотами, а дтя двух других — главными диаметрами Доказать, что сумма моментов инерции пластинки относительно координатных осей равна а — а ) ((5 —(5 )/4, где а, Р, Р — длины действительных полуосей гипербот. [c.17] Пример 8 Пусть da обозначает элемент поверхности эллипсоида, отнесенного к осям координат, совпадающим с его главными диаметрами, ар — величина перпендик /ляра, опущенного на плоскость, касательную к эллипсоиду, из его центра. [c.18] Вернуться к основной статье