ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Стохастическая динамика одномерных отображений из "Введение в теорию колебаний и волн " Как мы видели в гл. 15, исследование поведения динамической системы, описываемой дифференциальными уравнениями (см. 15.3), существенно упрощается, если от системы с непрерывным временем перейти к системе с дискретным временем. Такой переход осуществляется с помощью введения отображения секущей поверхности, разрезающей фазовый поток, в себя. При этом от дифференциальных уравнении мы переходим к разностным. Использование метода точечных отображении особенно удобно при анализе стохастического поведения динамических систем. Во-первых, как уже говорилось в гл. 15, эффективно понижается размерность фазового пространства и, кроме того, из процесса рассмотрения исключаются регулярные компоненты, не дающие стохастичности, но усложняющие описание — это, в частности, движение вдоль траектории, принадлежащей стохастическому множеству. Добавим, что для анализа стохастического поведения на основе отображений в математике развиты специальные методы — методы символической динамики [5, 6]. Их основная идея заключается в кодировании траектории последовательностью символов из некоторого набора, т. е. становятся дискретными не только моменты времени, в которые определяется состояние системы, но и сами состояния. [c.465] Мы ограничимся обсуждением только одномерных отображений. Это вызвано двумя причинами во-первых, их можно исследовать достаточно подробно без привлечения численного моделирования на ЭВМ, а во-вторых, к одномерным отображениям (а точнее к почти одномерным) сводится исследование и двумерных отображений, обладающих таким свойством в одном направлении элемент секущей поверхности Е в результате действия отображения сильно сжимается, а в другом растягивается (так называемое свойство гиперболичности отображения) (рис. 22.5). В системе с таким отображением, если достаточно долго подождать, почти все точки соберутся вблизи одной или нескольких линий, и их дальнейшее поведение можно описывать, пользуясь анализом одномерного отображения этих линий в себя. [c.465] Покажем, что движение динамической системы, описываемое растягивающим отображением отрезка в себя, может быть представлено как случайная последовательность. Для простоты записи будем говорить не об отображении рис. 22.6а, а об аналогичном ему отображении рис. 22.7а. [c.466] Убедиться, что растягивающее отображение отрезка в себя имеет счетное множество неустойчивых периодических точек, проще всего, построив последовательные итерации этого отображения (рис. 22.76) при двукратном применении отображения неподвижных точек будет уже четыре, при трехкратном — 2 и т. д. По этому поводу имеются математические теоремы, из которых, в частности, следует, что если непрерывное (в том числе и не гладкое) растягивающее отображение отрезка в себя имеет цикл периода три, то оно имеет цикл с любым периодом [8]. Известно [9], что задаваемые (22.4) последовательности нулей и единиц будут периодическими лишь для множества рациональных чисел, а для почти всех иррациональных, т. е. большинства точек отрезка (О, 1), эта последовательность будет случайной в том же смысле, что и последовательность выпадения орла или решки в классическом вероятностном эксперименте с подбрасыванием монеты. [c.468] что в вашем случае корреляции со временем спадают экспоненциально. Показатель экспоненты, т. е. показатель Ляпунова, характеризующий скорость спадания корреляций (одновременно и скорость разбегания траекторий), — это энтропия Колмогорова-Синая. В данном случае энтропия h = 1п2. [c.469] Возможна ли стохастичность в системах, сводящихся не к разрывным отображениям типа рис. 22.6а, а к гладким, как, например, на рис. 22.66 Да, но не всегда. [c.469] Вернуться к основной статье