ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Основные бифуркации на плоскости. Индексы Пуанкаре из "Введение в теорию колебаний и волн " Бифуркация — математический образ, отвечающий перестройке характера движения физической системы, химической системы и т. д. Математическое определение бифуркации опирается на понятие топологической эквивалентности динамических систем. Согласно, например, [17] две системы топологически эквивалентны, если движения одной из них могут быть сведены к движениям другой непрерывной заменой координат и времени. Рассмотрим в качестве примера фазовые портреты на рис. 1.3 и 1.4, которые на первый взгляд кажутся совершенно различными. Введением новой системы координат их можно свести один к другому (предоставляем это читателю), т. е. переход от фазового портрета на рис. 1.3 к фазовому портрету на рис. 1.4 не есть бифуркация, поскольку бифуркация — это переход от одной системы к топологически неэквивалентной. [c.312] У грубых динамических систем на фазовой плоскости могут быть только простые состояния равновесия типа фокус , узел и седло и притягивающие замкнутые фазовые траектории — устойчивые или неустойчивые предельные циклы. [c.312] Рассмотрим простейшие бифуркации автономных систем на фазовой плоскости, происходящие при изменении параметров системы. Простейшим бифуркациям соответствуют переходы через так называемые негрубые системы первой степени негрубости, когда появляется только одна траектория из запрещенных в грубых системах а) состояние равновесия седло-узел б) сложный фокус в) сепаратриса, идущая из седла в то же самое седло (сепаратрисная петля) или в другое седло г) двойной предельный цикл. [c.313] Обсудим эти бифуркации подробнее. Пусть изменение состояния системы происходит в результате изменения некоторого параметра а. Бифуркационное значение параметра обозначим через о. Бифуркация первого типа изображена на рис. 15.5 а. При значении параметра а о в системе существовало два состояния равновесия-седло и узел. При а = ао они слились, образовав сложную особую точку седло — узел. При последующем увеличении параметра а состояние равновесия исчезает. [c.313] Бифуркация второго типа представлена на рис. 15.5 б. Состояние равновесия (фокус) теряет свою устойчивость. При этом рождается устойчивый предельный цикл. [c.313] Третий тип бифуркаций иллюстрируется рис. 15.5 в, г. На рис. 15.5 г из сепаратрисной петли (а = о) рождается предельный цикл а о)-На рис. 15.5 д показано рождение двойного цикла из так называемого сгущения фазовых траекторий. Этот цикл (а = о) полуустойчив внутри цикла все фазовые траектории удаляются от него, снаружи приближаются. [c.313] чтобы построить портрет динамической системы на фазовой плоскости, надо знать состояния равновесия, сепаратрисы седел и предельные циклы. Если варьировать параметры, то всегда можно понять, как будет меняться картинка на фазовой плоскости. Зная, какие бифуркации возможны, мы определим и качественные изменения фазового портрета. А нарисовав фазовую плоскость, увидим, какие возможны движения — финитные, уходящие в бесконечность, приводящие к устойчивому равновесию и т. д. [c.313] Вернуться к основной статье