ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Основные типы траекторий. Грубость (структурная устойчивость) динамической системы из "Введение в теорию колебаний и волн " Начнем с систем с одной степенью свободы. Такие системы, описываемые уравнением второго порядка, качественно могут быть полностью исследованы с помощью анализа поведения траекторий на фазовой плоскости [1-6]. [c.307] Мы уже привыкли к фазовым портретам линейного осциллятора без трения (состояния равновесия типа центр или седло ), с малым затуханием (состояние равновесия типа фокус ), с большим затуханием (состояние равновесия типа узел ). Линейный осциллятор подробно обсуждался в гл. 1, но для дальнейшего изложения полезно еще раз взглянуть на все возможные фазовые портреты линейных автономных систем — они представлены на рис. 15.1 а-г. Исследование нелинейных систем мы начали в двух предыдущих главах с рассмотрения динамики нелинейного осциллятора и простейших моделей автоколебаний. Их уже достаточно сложные фазовые портреты также приведены на рис. 15.1, который собрал в себе все, что мы пока знаем. [c.307] Уравнение нелинейного осциллятора х + /(ж) = О, как уже говорилось в гл. 13, можно проинтегрировать и найти аналитическое выражение для х Ь). [c.307] Если в системе учесть еще и затухание, т. е. если уравнение будет иметь вид X + Нх + /(ж) = О, то аналитически найти решение достаточно сложно. Однако из физических соображений ясно, что при малом затухании состояние равновесия центр должно перейти в фокус соответствующий фазовый портрет изображен на рис. 15.2. [c.307] Величина В = ж -Ь у характеризует амплитуду колебаний. Если 1, тогда (1Е/(И О, и значение К на траектории нарастает если же 1, то (1Е/(И 0 — все траектории снаружи входят в окружность радиуса К. Если = 1, то с1К/сИ = О, и (15.5) есть точное решение уравнения (15.4). Таким образом, окружность ж - - = 1 на фазовой плоскости является замкнутой фазовой траекторией, к которой стремятся все соседние траектории, т. е. предельным циклом (рис. 15.3 е). Поясним, почему этот предельный цикл устойчив при 1 все траектории идут внутрь области, ограниченной окружностью радиуса К, но внутри этой области состояние равновесия (в начале координат) неустойчиво, следовательно, траекториям, входящим в эту область, некуда двигаться, кроме как наматываться на предельный цикл (рис. 15.3 е). [c.310] Если в автоколебательной системе кроме нелинейной проводимости есть еще нелинейные элементы типа нелинейных емкости или индуктивности, то фазовые портреты могут выглядеть, например, как на рис. 15.4 а. [c.311] Чтобы полностью охарактеризовать качественное поведение системы с одной степенью свободы, не обязательно знать все фазовые траектории. Достаточно знать только особые а) состояния равновесия, б) сепаратрис, седел, в) предельные циклы. Зная их взаимное расположение, мы можем нарисовать на плоскости фазовый портрет любой динамической системы, если она грубая. [c.311] Что значит грубая динамическая система Понятие грубости было впервые введено А. А. Андроновым и Л. С. Понтрягиным. [c.311] Вернуться к основной статье