ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Перекрытие нелинейных резонансов из "Введение в теорию колебаний и волн " Результаты исследования свойств нелинейного резонанса, которые мы методом Ван-дер-Поля получили в предыдущем параграфе, справедливы в случае, когда в нелинейном осцилляторе реализуется лишь один единственный (изолированный) резонанс. При этом все события, если их рассматривать в трехмерном фазовом пространстве (ж, х, I), развиваются в узком кольцевом слое. Проекция такого слоя на плоскость XX представляет собой замкнутую полосу, локализованную вокруг той траектории автономного осциллятора, период 2тг/сс движения по которой точно равен или кратен периоду 2тг/П внешнего возмущения. В отличие от случая линейного осциллятора резонанс в нелинейном осцилляторе возможен практически при произвольной частоте периодического воздействия, если, конечно, нелинейность достаточно велика. Это объясняется неизохронностью и ангармоничностью колебаний нелинейного осциллятора (неизохронность, как мы знаем, это зависимость частоты колебаний от энергии, ангармоничность — присутствие в спектре периодических колебаний высших гармоник). [c.288] Ситуация качественно меняется, когда малое периодическое возмущение не гармоническое, т. е. [c.289] При этом, как легко догадаться, уже в одном и том же приближении условие резонанса (13.16) может быть выполнено сразу для нескольких различных значений А (им, естественно, будут соответствовать различные значения п, т), т. е. в системе одновременно будут существовать несколько нелинейных резонансов, причем каждая гармоника определяет свой резонанс в соответствующей области фазового пространства. Эти резонансы могут быть изолированными — не влияющими друг на друга, но могут и перекрываться. К чему приведет такое перекрытие резонансов Вопрос нетривиален [12, 13, 20, 21], и здесь мы попытаемся ответить на него лишь качественно, отложив более детальное обсуждение до гл. 22. Однако прежде поясним, как в нелинейном осцилляторе появляются резонансы на гармониках. [c.289] Для исследования явления перекрытия резонансов удобно описывать нелинейный осциллятор в переменных действие - угол . Поясним подробнее введение этих новых переменных. [c.290] Пусть теперь гамильтониан имеет вид = Жо д,р)+Ж1 д,р,Ь). [c.290] Соотношения (13.21) и (13.22) эквивалентны друг другу, когда подынтегральные выражения различаются на полный дифференциал некоторой функции Р координат, импульсов, времени. Тогда после элементарных преобразований получим с1 Р + 1в) = рс1д + в с11 + Ж — Ж) (И. [c.290] Пусть возмущение гамильтониана является периодическим и по 0, и по А с периодом 2тг А характеризует внешнее воздействие с частотой i] = А. [c.291] Из (13.35) следует, что гамильтониан (13.32) не зависит от времени. [c.293] Тогда понятно,что изолированному резонансу соответствует в 1, а перекрытие резонансов будет при в 1. Что произойдет в этом случае Из (13.32) следует, что усредненное движение системы в изолированном нелинейном резонансе на фазовой плоскости ш 1), ф подобно поведению электрона в потенциальной яме . Нескольким резонансам соответствует несколько потенциальных ям (см. рис. 13.11). Перекрытие резонансов означает, что происходит такое сближение соседних ям , когда система может переходить из ямы в яму . При таких переходах проявляется новый вид неустойчивости динамических систем — стохастическая неустойчивость (см. гл. 22 и 23). [c.295] Рассмотренная задача тесно связана с существованием минимального хаоса и своеобразной формой его проявления — стохастической паутиной [21, гл. 13, 4 22]. В чем проблема минимального хаоса Она состоит в отыскании условий, при которых малые области со стохастическим поведением возникают при сколь угодно малом возмущении. Самый простой пример системы, в которой существует минимальный хаос, — два связанных нелинейных осциллятора с гамильтонианом Ж = Ж1 11) + 2( 2) + 6 1 2, 6 2) (минимальный хаос возникает при сколь угодно малых г). Фазовое пространство покрывается некоторой мозаичной структурой — стохастической паутиной, — представляющей собой ячейки, отделенные друг от друга стохастическими слоями. Удивительно красивые картинки стохастических паутин с симметрией пятого и седьмого порядков приведены на цветных вкладках книги [21] (см. в [21], например, рис. ХУП и XIX). [c.295] Вернуться к основной статье