ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Качественное и аналитическое описание. Примеры нелинейных систем из "Введение в теорию колебаний и волн " Это уже не параболическая зависимость для потенциальной энергии, как в случае линейного осциллятора. [c.275] Тогда получаем /2 + Ш х) = ё, где ё — полная энергия нелинейного осциллятора, аШ х) — его потенциальная энергия. [c.275] Это фактически уравнение траекторий на фазовой плоскости для нашей модели поскольку энергия сохраняется, мы можем задать ё при = О и, если известна х), легко найти х и нарисовать фазовые траектории (рис. 13.2). Движений с малой начальной энергией оо Ш х) попросту не существует, величина х получается мнимой. [c.275] Начальному уровню энергии 2 соответствует движение на участках О ж Жо2 и Ж12 ж Ж22, где Ж02, 12 И Ж22 определяются из условия ж = о, т. е. Ш х) = 2- Фазовые траектории, соответствующие такому движению, обозначены на рис. 13.2 цифрой 2. Точкам, в которых йШ х)1йх = О, соответствуют состояния равновесия. Меняя начальные значения энергии, можно построить все траектории на фазовой плоскости. [c.275] Если интересоваться только волнами, бегущими с постоянной скоростью и не меняющими своего профиля и = и х — (стационарными волнами), то после подстановки можно получить из (13.6) уравнение нелинейного осциллятора, фазовая плоскость которого приведена на рис. 13.3 а. [c.277] Каково время движения по другим траекториям, например по траекториям типа 1 на рис. 13.3 а Это — движение на дне потенциальной ямы, следовательно, это — почти линейные колебания, и их частота определяется из линеаризованной задачи. Для траекторий типа 2 на рис. 13.3 а, близких к сепаратрисе, зависимость х 1) приведена на рис. 13.3в. В том случае, если в (13.3) (1Ш х)/(1х = зтж, т. е. наш осциллятор — это просто маятник, получается известное точное решение, выражающееся через эллиптический интеграл [3]. [c.277] Таким образом, с точки зрения теории колебаний необходимым признаком консервативности двумерной системы мы должны считать существование однозначного интеграла движения вида (ж, ж) = С. [c.279] Можно построить поверхность z = (ж, ж) и, пересекая ее плоскостями Z = С = onst, получить при проецировании сечений на плоскость XX фазовый портрет (рис. 13.5 6). Легко убедиться, что в двумерной консервативной системе могут существовать лишь состояния равновесия типа седло и центр . [c.279] Рассмотрим теперь поведение ансамбля из большого числа невзаимодействующих нелинейных осцилляторов. Это могут быть, например, электроны, движущиеся в поле продольной электрической волны (поведение ансамбля линейных осцилляторов мы рассматривали в гл. 3). Первые задачи подобного рода появились в конце 60-х годов в высокочастотной электронике при исследовании системы возбужденных нелинейных осцилляторов как классической активной среды для мазеров на циклотронном резонансе [5] и в физике плазмы, в частности, в связи с проблемами ускорения и нагрева заряженных частиц. Будем считать. [c.279] Если функция распределения частиц по скоростям неравновесна, как, например, в системе электронный пучок — плазма, то возможен и обратный процесс — усиление волны конечной амплитуды. Когда фазовая скорость волны попадает в интервал скоростей, соответствующих левому склону неравновесной функции распределения (см. рис. 13.6 е), то нарастающая в результате линейного усиления Ландау (медленных частиц, отбирающих у волны энергию, меньше, чем быстрых — отдающих) волна увеличивает свою амплитуду и захватывает пролетные частицы. Этот процесс усиления длится, очевидно, только до тех пор, пока числа быстрых и медленных частиц, соответствующих левому склону функции /(г ), не выровняются и волна не превратится в нелинейную стационарную волну (квазилинейная релаксация). Таким образом, с течением времени происходит фазовое перемешивание осцилляторов и вместо осцилляции на функции распределения устанавливается плато. Время установления плато имеет порядок характерного времени движения частиц по замкнутым траекториям. [c.282] Следует заметить, что процесс усиления волны конечной амплитуды в системе плазма-пучок был детально исследован сравнительно недавно [17]. [c.283] Вернуться к основной статье