ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Параметрический резонанс. Теорема Флоке (Блоха). Уравнение Матье из "Введение в теорию колебаний и волн " К тому же уравнению с точностью до замены на ж приводит анализ распространения волн в среде с параметрами, периодически зависящими от координаты. Одна из возможных реализации такой среды изображена на рис. 11.1в мы выбрали длинную линию с периодически изменяющейся вдоль ее длины емкостью. Подобная среда описывается телеграфными уравнениями д /дх = —С(ж) дU/дt, д11/дх = —Ьо дI/дt, которые приводят к волновому уравнению д и/дх - ХоС(ж) д и/д = 0. [c.218] Приведем простейшие сведения из теории дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами и, в частности, теорему Флоке, которая определяет структуру решения системы линейных дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами. В общем случае теорема формулируется так система с п степенями свободы, описываемая дифференциальным уравнением порядка 2п с периодическими коэффициентами периода Т, имеет 2п линейно независимых решений, образующих фундаментальную систему, причем каждое из этих решений имеет вид Xi t) = Ф (i) exp(Aii), где Фi(i) — периодическая функция с периодом Т. Экспоненты exp(Aii) называют ляпунов-скими экспонентами, числа — ляпуновскими характеристическими показателями, а Ф ( ) — функциями Флоке. [c.219] Поясним теорему Флоке для системы второго порядка, т. е. для уравнения (11.4). [c.219] Если ReA О, то одно из слагаемых правой части в (11.7) будет расти со временем и x t) будет нарастать — в системе возможна неустойчивость. [c.220] Явление, заключающееся в нарастании колебании в параметрических системах, называют параметрическим резонансом [2]. Для ответа на вопрос о том, при каких условиях возникает параметрический резонанс, конкретизируем вид функции w (i) в уравнении (11.4). [c.220] К уравнению Матье, как мы видели, приводят и одномерные задачи распространения волн. Применительно к задачам распространения волн в трехмерных периодических структурах существует обобщение теоремы Флоке (на трехмерный случай) оно носит название теоремы Блоха [1, 3]. [c.220] В подобном суммировании резонансных составляющих в разных порядках теории возмущений с главной частью решения заключается основная идея большинства методов малого параметра, в том числе и для нелинейных систем. [c.222] Это и есть искомые уравнения для медленно изменяющихся амплитуд. [c.223] При достаточно малой расстройке —шоЬ/2 6 шоЬ/2) амплитуды А и В будут нарастать — в системе реализуется параметрическая неустойчивость. Приведенные неравенства определяют зону основного резонанса, границы которой изображены на рис. 11.2. [c.223] Предоставляем читателю самому вывести (11.13), обращаясь при затруднениях к [4, задача 1, с. 107]. [c.224] Нетрудно сообразить, что параметрический резонанс должен иметь место при любом и)р к. 2о о/п, где п — целое число в том числе и при п = 2. Качественно это ясно чтобы раскачать качели, можно толкать их и один раз за период, но для получения прежнего результата толкать надо сильнее. [c.224] При большой глубине модуляции параметра правая часть уравнения X -Ь lOqX = хш ЬсонШрР, уже не является малой и асимптотический метод решения неприменим. В этом случае приходится пользоваться таблицами или решать уравнение Матье численно. [c.225] В этом разделе мы обобщим теорию связанных колебаний, кратко изложенную в гл. 2, на случай, когда параметр связи изменяется во времени (параметрическая связь). Подобно тому как два разночастотных колебания смешиваются на нелинейном элементе, смешение частот происходит и при изменении какого-либо параметра системы во времени. [c.225] Из (11.23) следует, что существуют нарастающие и затухающие колебания. Легко видеть, что выражение (11.23) совпадает с полученным выше для первого приближения при решении задачи методом возмущении, если в последнем положить 5 = 0. [c.228] Таким образом, при р = тг/2 имеет место параметрическая неустойчивость — решение экспоненциально нарастает по времени. В то же время при р = —тг/2 решение экспоненциально затухает. Найдите сами, как нужно выбрать сдвиг фазы накачки относительно фазы напряжения при произвольных начальных условиях для получения нарастающего решения (заметим, что удобно искать величину ip — 2e, где 1 = aY ig[y/ iiV ti)/y/Lll Q)] — фаза колебания а). [c.228] Это соотношение легко интерпретировать мощность от источника накачки распределяется между нормальными колебаниями а и а поровну (нельзя запасти мощность в одном колебании). Разумеется все сказанное справедливо лишь при частоте накачки = 2wi. [c.229] Вернуться к основной статье