ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Гравитационные волны в несжимаемой жидкости. Внутренние волны. Волны Россби из "Введение в теорию колебаний и волн " Здесь Я — угловая скорость вращения Земли, — единичный вектор вертикальной оси координат авн заменено на g, поскольку жидкость находится в поле тяжести. [c.95] Как показано в [3], уравнения (5.20)-(5.23) допускают разделение переменных в двух случаях 1) s и g, взятые при ip, равном широте места, являются постоянными это приближение справедливо для волн, на длине которых q и s меняются мало, — для звуковых, поверхностных, внутренних и инерционных волн 2) можно пренебречь слагаемыми, содержащими лишь fiy, т.е. s, поскольку s fly. [c.97] Хотя с г) изменяется мало с глубиной, наличие, например, минимума с(г) на какой-то глубине приводит к образованию подводного акустического волновода, по которому звук низкой частоты от источников (для низких частот поглощение в воде мало) может распространяться на расстояния до нескольких десятков тысяч километров [3, 23]. [c.98] Здесь учтено, что д У г)/дг + роа) г) = О (см. (5.37)). [c.99] Справедливость используемых приближений мы покажем с помощью соображений размерности. Рассмотрим поверхностные волны, предполагая, что в состоянии равновесия поверхность жидкости горизонтальная. Если ее вывести из этого состояния, то для возникновения волн на поверхности жидкости необходимо существование возвращающей в положение равновесия силы и силы инерции, из-за которой жидкость проскакивает положение равновесия. Какая сила может заставить появившийся на поверхности жидкости горб исчезнуть, чтобы поверхность опять стала горизонтальной Такой силой может быть, например, сила тяжести Fg g или сила поверхностного натяжения Ра ст ст — коэффициент поверхностного натяжения). Обсудим действие этих сил отдельно. [c.99] Очевидно, если считать, что скорость Vф равна /(Л, g, р) и не зависит от Н, мы сразу придем к формуле (5.42). [c.100] Таким образом, в случае, когда, например, = к, в (5.44) и (5.45) l = 1/ / , С2 = 1. Из формул (5.42)-(5.44) при = к = к следует, что при кН О (мелкая жидкость) фазовая скорость стремится к постоянному пределу y/gH — дисперсия слабая. На глубокой воде дисперсия всегда есть ш л/f ) она связана с нелокальной зависимостью между давлением и глубиной жидкости. Гравитационные волны обладают отрицательной дисперсией, поскольку = [(g-/f ) th(f ii)] /2 уменьшается с ростом частоты. Групповая скорость v p = d o/dk тоже уменьшается с ростом частоты, поэтому, скажем, в море или океане к берегу из области возникновения приходят сначала длинные волны, а уже потом короткие. Этот факт можно использовать для определения расстояния до шторма (читателю, по-видимому, доставит удовольствие придумать способ обнаружения штормов и оценить максимальную дальность обнаружения см. гл. 4). [c.101] Полагая далее, что движение потенциальное (го1у = 0), можно ввести потенциал скорости у = УФ. Воспользуемся формулой векторного анализа (уУ)у = Уг1 /2 — [уго1у]. Тогда для несжимаемой жидкости д /д1 - - (уУ)у = д /д1 + Уг) /2 и, следовательно. [c.101] Очевидно, что (5.50) выражает закон сохранения энергии. В этом состоит смысл уравнения Бернулли, связывающего скорость с давлением, поскольку и известна. Мы воспользуемся (5.50) в гл. 7, чтобы объяснить известную неустойчивость Гельмгольца, не решая уравнений гидродинамики. [c.102] Будем искать решение системы (5.53) в виде Ф = ip z) — кх)]. [c.103] Для капиллярных волн Рф = л/ак/р, т.е. фазовая скорость растет с ростом ш, что соответствует положительной дисперсии. На рис. 5.2 приведены зависимости о и г)ф от f для поверхностных волн кривые соответствуют (5.59). [c.104] Постройте сами теорию дробления заряженных дождевых капель, считая каплю сферической, а жидкость несжимаемой (колебания следует разлагать на стоячие сферические волны по полиномам Лежанд-ра) [8]. [c.105] Простейший пример внутренних волн в стратифицированной жидкости — волны, распространяющиеся вдоль поверхности раздела двух однородных жидкостей разной плотности. Распространение волн обусловлено балансом между силами плавучести и полной силой инерции жидкости. Более сложный случай — волны в жидкости с непрерывной стратификацией. В стратифицированной жидкости любое смещение произвольного участка жидкости по высоте нарушает равновесие, и возникают колебания. Как уже говорилось, плотность морской воды зависит не только от давления, но от температуры и от относительного содержания растворенных солей, которые меняются с глубиной. [c.105] Заметим, что в несжимаемой жидкости условие N = onst соответствует экспоненциальной зависимости плотности от глубины. [c.106] Очевидно, что найденная в этих прибли- а жениях волна — это поверхностная волна д в мелкой воде, которая распространяется со скоростью /gH, т.е. стратификация жидкости не влияет на характер этой волны. [c.107] Полученный для внутренних волн закон дисперсии — это типичный закон дисперсии для многомодового волновода (рис. 5.3). [c.107] Когда N зависит от г, возможны и более сложные законы дисперсии [24]. Как отмечается в [3], решения уравнения (5.60) с граничными условиями (5.40) при N = N z) описывают волны, одна из которых близка к поверхностной, поскольку максимум V z) достигается при г = О, и, кроме того, набор внутренних волн, у которых максимумы расположены внутри интервалов О г Н. [c.107] Остановимся кратко на гироскопических (инерционных) волнах, закон дисперсии для которых можно получить из уравнений (5.32) и (5.33) для однородной (Ж = 0) несжимаемой (с оо) жидкости. Эти волны характерны для океана — они связаны с вращением Земли. [c.107] Если N = onst и П ф О, то возникают так называемые гравитационно-гироскопические волны, закон дисперсии для которых, как показано в [3], имеет вид = N sin f- - os (kf2), ж — угол между к и положительным направлением оси г . [c.108] Вернуться к основной статье