ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Формальный способ получения дисперсионного уравнеВолны в одномерном резонаторе. Резонанс волновых систем из "Введение в теорию колебаний и волн " Рассмотрим наиболее типичные дисперсионные характеристики различных одномерных сред, воспользовавшись для наглядности эквивалентными схемами из ЬС-цепочек. С помощью ЬС-цепочек можно реализовать практически любую дисперсионную зависимость, поэтому такие цепочки могут служить моделями при исследовании распространения волн в различных средах. [c.76] В общем случае и Ф — дифференциальные или интегральные операторы, и только в средах без дисперсии связь между переменными мгновенна (5 = С11, Ф = Ы (уравнения связи становятся алгебраическими). Заряд (или поток) не зависит от напряжения или тока в соседних точках или в соседние моменты времени. Если и Ф — дифференциальные операторы, содержащие производные по I или по х, то связь между переменными нелокальна, и можно говорить о среде с временной или пространственной дисперсией соответственно. [c.77] Конкретный вид ш) и Z uJ) определяется уравнениями связи. [c.77] Рассмотрим различные дисперсионные характеристики моделей из L -элементов, используя (4.38). [c.78] Очевидно, что можно было бы не выписывать (4.39), а найти непосредственно из эквивалентной схемы Z = го Ь/(1 — ш ЬСх) и = шС, что с учетом (4.38) сразу даст (4.40). Однако мы хотели лишний раз продемонстрировать, как появляется дисперсия из-за нелокальной связи переменных (см. материальное уравнение Ф = Ф(/) в (4.39)). Интересно, что дисперсия в данной среде-модели такая же, как и в случае длинной линии с индуктивной связью между ячейками (см. рис. 4.13). Дисперсионная кривая, представленная на рис. 4.18, определялась в обычном для таких целей эксперименте [7], когда один конец линии нагружен на сопротивление, не равное характеристическому сопротивлению Zo линии Zo = л/Ь/С/ 1 - /и о) (Ь/Су/ 1 Ом). Из-за отражений в линии устанавливается картина стоячих волн. Длину волны находят с помощью зонда и лампового вольтметра, измеряя расстояние между минимумами стоячих волн. Самой высокой частоте соответствует длина волны приблизительно 2Дж. Как показано в работе [7], данная среда-модель количественно описывает распространение ионных акустических волн (ионный звук) в плазме. Эта линия моделирует также распространение звука в твердом теле (звуковая волна распространяется без дисперсии, пока ее волновое число к много меньше обратного вектора решетки д = 2тт/а а — расстояние между ионами решетки), в противном случае становится уже существенной пространственная дисперсия, связанная с дискретностью среды ), спиновые волны в ферромагнетике и т. д. [c.79] Примером является среда с упругими диполями для электромагнитных волн или неизотермическая плазма для ленгмюровских и ионнозвуковых волн. При со соз волна не замечает собственных колебаний диполей, и среда ведет себя как среда без дисперсии. При со, близких к сог, и соз, дисперсия уже существенна. [c.80] Модель замедляющей системы, в которой распространяется обратная пространственная гармоника. Дисперсионное уравнение имеет вид = к ЬС) . Разрыв на дисперсионной характеристике в области /г и О (Л оо) соответствует пространственно однородному полю, которое, очевидно, не реализуется в такой системе (за исключением тривиального случая Сс = 0). Заметим, что данная модель описывает и распространение поперечной волны в упругих стержнях (рис. 4.20). [c.81] Пусть уравнение (4.43) имеет решения ш = Шs k) и к = ks ш), где 5 = 1, 2,. .., и. Это означает, что в среде существует п типов волн, т. е. [c.82] Такая запись удобна и тогда, когда между волнами появляется слабая связь в уравнение (4.44) в этом случае необходимо добавить слагаемое aj с соответствующим коэффициентом связи (связанным волнам мы посвятим далее отдельную главу). [c.82] Для распределенных систем дисперсионное уравнение — это уравнение, связывающее две комплексные величины шик. Для сосредоточенных же систем имеется характеристическое уравнение, которое дает более полную информацию о системе — спектр ее комплексных собственных частот. [c.82] Физически это условие совершенно очевидно — в кольцевом резонаторе могут существовать лишь периодические в пространстве волны, которые укладываются в нем целое число раз. [c.83] Зная дисперсионное уравнение среды, заполняющей резонатор f ) = О, и спектр волновых чисел (4.46) или (4.47), мы можем получить уравнение относительно одной переменной A(w) = кп) = = О, определяющее спектр нормальных частот резонатора. Именно это уравнение и есть аналог характеристического уравнения для сосредоточенных систем. Например, в случае среды без дисперсии при идеальных отражениях на концах кп = ттп/1 и = ттпЦЫЬС) = kn/ VL ) (рис. 4.21). Каким при эквидистантном спектре к будет спектр ш, если среда обладает дисперсией Качественное поведение спектра, зная дисперсионные характеристики, можно получить с помощью элементарного графического построения, которое ясно из рис. 4.22 и 4.23. [c.83] Этот спектр представлен на рис. 4.23 6. Аналогично нетрудно построить плотность спектрального распределения pi(ui) цепочки из чередующихся легких и тяжелых молекул [15]. Если возбуждены и продольные, и поперечные колебания цепочки, то к спектру pi ui) (см. (4.49)) следует добавить спектр поперечных колебаний, определяемый из дисперсионного уравнения ш к) = В sm ka/2). Плотность спектрального распределения частот полного спектра приведена на рис. 4.19 в (см. [15]). [c.85] Вернуться к основной статье