ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Возбуждение двух связанных осцилляторов внешней сиТеорема взаимности из "Введение в теорию колебаний и волн " Ограничимся случаем, когда Т и V — положительно определенные квадратичные формы (это не выполняется, например, для системы, изображенной на рис. 2.2а). Необходимым и достаточным условием положительной определенности является выполнение неравенства А, В 0 а,Ь 0]АВ-Н 0 аЬ - 0. [c.41] Таким образом, любую консервативную линейную систему с п степенями свободы можно представить в виде набора п невзаимодействующих осцилляторов. Это означает, что линейная консервативная система с постоянными параметрами полностью характеризуется спектром нормальных частот (разумеется, чтобы иметь решение, надо задать начальные условия). [c.42] введение связи в консервативную систему может лишь увеличить интервал между собственными частотами линейной системы. Этот результат весьма важен, например, для определения констант колебаний молекул, которые характеризуются парциальными частотами. Наблюдается же спектр нормальных частот, поскольку любое исследуемое вещество представляет собой ансамбль связанных систем. Поэтому следует делать поправку на связь подсистем. Полученный нами результат об удалении собственных частот друг от друга при введении связи позволяет оценить расположение искомых парциальных частот. [c.43] При выводе (2.14) мы пренебрегли к/ ти 1) по сравнению с единицей. В силу малости величины а = к/ 2ти о) маятники совершают колебания с частотой о о, амплитуда которых медленно изменяется. Получились биения (рис. 2.5). Нетрудно видеть, что, например, при а1 = тг/2 первый маятник будет неподвижен (ж1 = 1 = О в пренебрежении слагаемыми, содержащими f /(ma o)) и вся энергия перейдет ко второму маятнику. [c.44] Таким образом, связь приводит к тому, что происходит периодический обмен энергией между осцилляторами, причем период перекачки зависит от связи (полная перекачка энергии между осцилляторами имеет место через время, кратное Т и 7г/а = 2ттти о/к). При малом значении а мала энергия взаимодействия, т. е. энергия, вносимая одним осциллятором в другой но даже при сколь угодно малой связи будет происходить полный обмен энергией. Правда, период перекачки будет при этом неограниченно расти (Г 1/а). Казалось бы, при а О энергообмен должен прекращаться, а он просто замедляется. Дело здесь опять в резонансе парциальные частоты маятников одинаковы, поэтому воздействие сколь угодно малой связи приводит к перекачке — эффективному обмену энергией. Такой резонанс называют внутренним резонансом (см. гл. 18), имея в виду, что взаимодействуют подсистемы одной системы. [c.45] В ряде случаев уравнения движения анализируемой системы удобно представить в специальных формах, называемых формой связанных колебаний и формой нормальных колебаний [5]. Остановимся кратко на их получении. [c.45] Решения (2.23) могут быть получены непосредственно из (2.20) при выполнении условий к ти 2) 1 и и Ш2- Таким образом, пренебрежение в (2.19) слагаемыми, связывающими и а, действительно эквивалентно предположениям о слабой связи и большой связанности. [c.48] Часто используется также другой общий метод нахождения иной формы уравнений для системы связанных осцилляторов — формы нормальных колебаний. Не останавливаясь на деталях, сформулируем суть метода в виде теоремы (см. [5]). [c.48] Заметим, что, как и в случае одиночного осциллятора, имеется аналогия с квантовой механикой, форма связанных колебаний аналогична рассмотрению двух связанных осцилляторов с помощью операторов рождения и уничтожения [6]. [c.48] Если говорить о математическом подходе, наиболее удобном для анализа колебаний связанных осцилляторов, то в случае слабой связи предпочтение следует отдавать, по-видимому, форме связанных колебаний. [c.48] Заметим, что динамическое демпфирование часто используется на практике для гашения вредных колебаний [8]. Например, для уменьшения качки танкера при волнении на море в его танки закачивают воду, уровень которой подбирается таким образом, чтобы парциальная частота колебаний массы воды в танках приближалась к частоте ударов волны о борт (рис. 2.6). Тогда сам танкер качается существенно меньше. [c.50] Из сравнения (2.25) и (2.26) следует важный вывод при воздействии на один осциллятор внешней силы второй будет колебаться так же, как первый при воздействии внешней силы на второй. Это — известная теорема взаимности. Она справедлива для линейных систем с любым числом степеней свободы, в том числе и для распределенных систем, а с соответствующими изменениями в формулировке — и для сплошных сред. В электродинамике, например, теорема взаимности широко используется в теории антенн. В применении к идеализированным антеннам — элементарным колеблющимся диполям — ее можно сформулировать следующим образом [7]. [c.50] например, р1 соответствует передающей антенне, распополо-женной вблизи земли, а нужно найти поле, создаваемое этим диполем высоко над землей, в точке 2, где находится летательный аппарат с приемной антенной на борту, то можно решить вспомогательную задачу, в которой передающая антенна — диполь р2 — расположена в точке 2, а приемная антенна — в точке 1, и воспользоваться теоремой взаимности [7]. [c.50] Вернуться к основной статье