ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Два примера. Фазовый портрет осциллятора из "Введение в теорию колебаний и волн " Уравнения (1.3) и (1.2) — это обыкновенные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами. Они описывают системы с одной степенью свободы. Число степеней свободы вдвое меньше порядка дифференциального уравнения, описывающего систему [2]. Поэтому системе с одной степенью свободы соответствует двумерное фазовое пространство — поверхность, с полутора степенями свободы — трехмерное фазовое пространство, а системе с двумя степенями свободы — естественно, четырехмерное. [c.19] Прежде чем рассматривать движение линейного осциллятора — системы с одной степенью свободы — на фазовой плоскости, приведем еще два нетривиальных, хотя уже и ставших классическими примера линейных осцилляторов, которые встречаются в химии и биологии. [c.19] Если концентрации X и У не меняются во времени, то реакция может протекать так, что скорость образования В будет постоянной. [c.19] Система уравнений (1.8) легко сводится к уравнению линейного осциллятора (1.1), если формально считать, что кхко/к = 2 у, к ко = = 1 0 Разумеется, нелинейная система уравнений (1.5) богаче решениями, чем уравнение линейного осциллятора (1.1), которое получилось из нее лишь в силу сделанных допущений о малости возмущений концентрации. Мы вернемся к нелинейной модели Лотки как составному элементу более сложных периодических химических реакций (например, реакции Белоусова-Жаботинского). [c.20] Плоскость переменных жиж называется фазовой плоскостью уравнения (1.2). Каждой точке фазовой плоскости ( изображающей , или фазовой , точке) соответствует вполне определенное состояние системы. [c.21] Траектория изображающей точки называется фазовой траекторией. Через каждую точку фазовой плоскости проходит одна и только одна траектория. Заметим, что фазовая траектория может состоять всего из одной точки, называемой положением равновесия. Скорость изображающей точки называется диаграммной скоростью. В положении равновесия она равна нулю. Фазовую траекторию и диаграммную скорость не следует смешивать с действительными траекторией и скоростью движения. [c.22] Параметр С определяется начальными условиями. Дополнив интегральные кривые стрелками, определяющими направления движения (в нашем случае — по часовой стрелке — в верхней полуплоскости dx/dt 0), получим полный фазовый портрет линейного осциллятора. Одна из фазовых траекторий состоит всего из одной точки, которая соответствует состоянию равновесия. Состояниям равновесия соответствует равенство нулю или отсутствие сил, вызывающих движение, т. е. ж = ж = 0. В нашем случае состояние равновесия находится в начале координат х = О, у = 0). Это изолированное состояние равновесия, к которому не стремится ни одна траектория, называют центром. [c.22] Скорость движения изображающей точки вдоль фазовой траектории (диаграммная скорость) для гармонического осциллятора не зависит от траектории, по которой движется изображающая точка, период обращения всегда равен Т = 27г/о о- Рассмотрим ансамбль одинаковых осцилляторов с разными начальными энергиями и одинаковыми начальными фазами (на фазовой плоскости начальные состояния будут изображаться точками на прямой, проходящей через начало координат). Через произвольное время фазы всех осцилляторов по-прежнему будут одинаковы, т. е. движение линейного осциллятора является изохронным. [c.23] Поскольку решения уравнения (1.1) известны, легко показать, что = - ш1+а), а = агс1 [( /о + 1Хо)/(хол/- 7 )] (т/о, хо — значения у и X при = 0), и, следовательно, убывает со временем, а р О при 1 00. [c.25] Таким образом, фазовые траектории па плоскости ш представляют собой логарифмические спирали, скручивающиеся к точке равновесия (и = О, V = 0), которая называется устойчивым фокусом (рис. 1.3). [c.25] Вернуться к основной статье