ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Движение узла из "Лекции по небесной механике " Установив это, мы опять приходим к уравнениям (1) предыдущей главы, с той разницей, что АС = г не представляет более Ух + у, а равно + У + 2. [c.490] Следовательно, в есть известная функция времени, разложимая по ч е т н ы м положительным и отрицательным степеням . [c.491] Более того, если заменить т на —т, или I на Г , то и обращается в 5, так что / и 0 не изменятся. [c.491] В самом деле, мы должны заметить, что уравнение (1) не изменится, если заменить т на —т поэтому существование первого из решений (2) влечет за собой существование второго. [c.492] Далее постараемся разложить Р (т) по степеням 01, 02 и т. д. разложение будет быстро сходящимся, так как мы видели, что эти коэффициенты весьма малы и, с другой стороны, Р (т) есть целая функция этих коэффициентов. [c.494] Действительно, легко проверить, что если это верно для z -i, то также будет верно для z . [c.494] Далее можно разложить 6/ по степеням g — g и по степеням 01, 02, . и мы должны будем получить то же разложение,, которое получается, если использовать уравнения (5). Отсюда видно, что общий член имеет вид (6). [c.495] В этом разложении сохраним только чисто периодические члены с os (g -f- 2j) т, т. е. те, которые не содержат т вне знаков тригонометрических функций. Коэффициенты этих членов с той же степенью приближения, т. е. с точностью до величин порядка т , и будут искомыми коэффициентами bj и, действительно,, ао равен 1. [c.495] С другой стороны, коэффициенты этих целых функций будут рациональными функциями д, так как если коэффициенты величины Zh-i зависят рационально от д, то это будет верно, в силу уравнений (5), и для коэффициентов величины г . [c.495] Эти выражения должны обращаться в нуль при = g. Составим их определитель и обозначим его через ( ). [c.497] Предположим, что j и к принимают все целые положительные и отрицательные значения от —(л до включительно. В этом случае определитель будет состоять из 2(л + 1 строк и 2 i i столбцов. Тогда ( ) определим как предел этого определителя, когда (1 неограниченно возрастает. [c.497] Этот определитель сходится действительно, можно заметить, что элементы главной диагонали равны 1. [c.497] Мы утверждаем, что эти значения соответствуют именно простым полюсам. В самом деле, только элементы j-n строки становятся бесконечными при = —2/ g, и эта бесконечность первого порядка. [c.497] Но любой член нашего определителя может содержать в качестве множителя только один элемент /-й строки. [c.497] Во всех случаях алгебраическая сумма индексов должна равняться нулю. [c.499] Действительно, рассмотрим один из членов разложения. Это будет произведение некоторых элементов определителя среди этих чле-нов некоторые принадлежат главной диагонали, и мы ими не будем заниматься, так как они равны 1 другие не будут принадлежать главной диагонали и их будет конечное число (в противном случае наш член, содержащий в качестве множителя т с бесконечно большим показателем, был бы бесконечно малым). [c.499] Он также будет содержать множителем произведение (11), но его коэффициент будет равен Л ( -(- 2п). [c.499] Допустим, что l, 02,. . ., Ор суть те различные значения, которые не должна принимать разность ге — ге. [c.501] Это верно, так как при / О получаем определитель с двумя одинаковыми строками, а при / = О получаем определитель ( ), который равен нулю, что и требовалось доказать. [c.502] Вернуться к основной статье